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广州住房和城乡建设部网站,请解释网站开发的主要流程.,wordpress搜索所有类,app设计案例原文#xff1a;towardsdatascience.com/linear-programming-optimization-foundations-2f12770f66ca 线性规划是一种强大的优化技术#xff0c;它被用于许多领域的决策改进。这是关于线性规划的多部分系列的第一部分#xff0c;将涵盖与线性规划相关的重要主题。这篇文章将…原文towardsdatascience.com/linear-programming-optimization-foundations-2f12770f66ca线性规划是一种强大的优化技术它被用于许多领域的决策改进。这是关于线性规划的多部分系列的第一部分将涵盖与线性规划相关的重要主题。这篇文章将是简单的旨在在探讨更高级的线性规划主题之前介绍基础知识。在这篇文章中我们将讨论构成线性规划问题的要素了解线性规划的工作原理及其为何强大在 Python 中运行线性规划示例我个人认为例子是学习技术主题的有效途径。因此我们将贯穿整篇文章使用一个简单的例子。我将在下一节介绍这个例子。在我们深入探讨之前如果你对优化的基本概念和术语不是很熟悉我写了一篇关于优化的入门文章我鼓励你在继续之前阅读这篇文章中有许多通用的优化术语我没有定义。优化直观基础设置我们的例子我们将遵循一个愚蠢的例子为本文中我们将涵盖的概念提供背景。我们将想象我们是非常简单的人我们只吃两样东西——苹果和巧克力棒。我们想要平衡我们的健康和口味享受。这就是我们例子的背景在接下来的章节中我将介绍线性规划的概念并将其应用于这个例子。到那时我们将进行完整的优化帮助我们决定应该吃多少苹果和多少巧克力棒什么是线性规划线性规划是一种优化技术它通过线性方程或不等式的约束条件最小化或最大化线性目标函数这里有大量的术语不用担心我们很快就会在直观的例子中解释。线性规划这个名字比我们现在通常认为的编程即计算机编程要早线性规划是在二战时期开发和使用的。它被广泛用于管理操作程序——例如将物资从工厂运送到前线。所以“规划”指的是计划或调度而不是计算机。这是一个历史背景这样你就不会总是想知道“规划”部分何时出现虽然它最初是为了解决操作/后勤问题而开发的但有许多巧妙的方法可以使线性规划适用于广泛的多种问题类型一个线性规划问题由以下 3 部分组成https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/4e3a195fb4778e23671ac88eecce82fb.png由作者提供让我们为我们的苹果和巧克力棒示例设置这三个部分。类型我们希望最大化从食物中获得的享受——因此这是一个最大化问题。目标函数幸运的是我们非常了解自己可以量化我们对苹果和巧克力棒的喜爱程度——我们甚至更有运气因为我们的喜爱程度是一个适合线性规划问题的线性函数 https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/3e34c1e9d10d0eb31e7dcbd1130a6fed.png作者图片这个函数可以用来计算我们吃多少苹果和巧克力棒可以获得多少享受。我们吃一个苹果获得 1 单位的享受吃一个巧克力棒获得 3 单位的享受。约束条件虽然我们的饮食种类非常有限但我们对我们健康有一点担忧。我们决定限制我们的1卡路里和2糖分摄入。由于我们想要控制两个变量我们需要两个约束条件。我们需要设置线性函数来计算给定苹果和巧克力棒数量的卡路里和克糖。一旦我们设置了公式我们将它们设置为不等式基于我们想要限制的消费。我们决定我们不想吃超过 850 卡路里也不想吃超过 100 克糖。这里是我们的约束条件https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/9d13b7c38381d645b95ec67be1828e3a.png苹果含有 95 卡路里和 15 克糖巧克力棒含有 215 卡路里和 20 克糖 - 作者图片好的我们现在已经完全设置好了线性规划问题以下是总结https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/1c7e0a38f634eea01f3d1ebe228d050b.png作者图片我们非常幸运我们所有的食物消费偏好和约束都是线性的。关于基本线性规划允许的约束类型和目标函数有很多规则。违反规则的内容如下https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/9f344225ae5fd6bbe27ee6b0f52e5cea.png作者图片线性规划可以扩展以允许许多这些违规行为——但允许上述元素会失去保证解决方案将是全局最优的。对于今天的示例我们将保持在线性规划范围内未来的文章将探讨我们如何使用修改后的线性规划框架称为混合整数线性规划来违反一些这些规则。工作原理我认为通过创建图形表示来理解线性规划的工作原理是最容易的。由于我们只有两个决策变量我们可以制作出漂亮的二维图表我们只吃两种食物是多么方便。我们首先通过图表来表示我们的约束条件https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/a79c176ac3adedaa3ee791ef7ee99080.png约束条件以视觉形式表示 – 作者图片橙色和蓝色线条是我们的线性约束。我们只接受小于或等于这两条线的解。阴影区域是我们的可行解空间。线性规划问题的任务是找到解空间中最大化我们的目标函数我们的食物享受的位置。这可能会显得有些令人畏惧——我们的解空间是无限的因为我们可以吃苹果和巧克力棒的分数部分不过不用担心因为我们的所有函数都是线性的我们可以使用一个技巧将我们的无限解空间减少到一个有限集合让我们稍微思考一下我们的解空间。它是被蓝色和橙色线条所包围的灰色区域。在寻找最优解时我们寻找极端值——最低或最高。因此最优解将在边界或灰色区域是有意义的因为那是最极端的。现在我们可以得出结论我们的最优解将在我们的可行空间边界上。但这仍然是一个无限的空间。我们需要一个额外的技巧来得到一个有限解空间。让我们在我们的蓝色线条上随机选择一个点https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/eb38d11a155916ba33cfcb7d42f4f56e.png作者图片我们如何使这个点更加极端同时保持在可行区域的边缘我们可以将它滑动到可行区域左边的边缘或者我们可以将它滑动到橙色线条与蓝色线条相交的右边。在那之后橙色线条定义了可行区域而不是蓝色线条。这些点是这部分解空间的最极端点。如果我们对解空间的每个边缘或逻辑进行推理我们会发现所有的交点都是边缘的最极端点。通过这个算法我们通过只查看空间的角点来将我们的无限解空间减少到有限空间。如果我们的目标函数和约束条件是线性的最优解将始终是角点之一我们只需要查看所有角点的目标值并选择具有最高或最低值的点https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/5592ef9e18ac940f5225c7547f2d1943.png作者图片下面是线性规划算法在角点处寻找最优解的图形表示https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/4a23b97c18d4c2d040e277aa89756909.png作者图片如我们之前讨论的对于一个线性规划问题目标函数和约束条件必须是线性的。现在我们对线性规划问题的工作原理有了更好的理解即检查约束条件的角点我们处于一个很好的位置来理解线性违反如何导致问题。当引入非线性函数时极点可以出现在角点之间因为线不是单调递增或递减的。这取消了线性规划通过检查角点来使潜在解列表有限的“技巧”。在下面的示例中我们的卡路里约束是二次的当然这在实际中没有任何意义——但为了示例我们就这么假设吧最优解现在是抛物线的最大值它不在角上。所以如果我们尝试在这个约束集上使用角点方法我们会得到一个次优解总的来说约束和目标函数需要是线性的因为线性规划依赖于角点是极点这意味着最优解总是在角上。正如我们下面看到的当这一点不成立时“技巧”并不能保证得到最优解。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/3f7d34c75b6b3b911f36446308fbe4ea.png非线性约束下最优解不仅限于角点 - 图片由作者提供现在我将花几分钟时间讨论两种 LP 算法会运行但不会返回最优解的情况。第一种情况是满足所有约束条件的解空间为空。例如如果我决定我想吃负数的糖那么在卡路里约束以下和 X、Y 轴上的 0 以上将没有空间。下面是一个示例图表。这将导致一个“不可行”的结果。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/2a2debb31c2bec5f5a0953ea6513b98a.png无可行区域 - 图片由作者提供第二种情况是解空间没有被约束完全包围。想象一下如果我们想吃至少 850 卡路里和 100 克糖而不是少于 850 卡路里和 100 克糖这意味着我们改变了约束条件为≥那么我们的解空间将是无界的。我们可以总是吃更多的巧克力棒和苹果获得更多的享受。当然这没有意义我们会得到一个“无界”的结果——这意味着无法达到有意义的最优解。在排除了这两个注意事项之后让我们用 Python 解决 LP 问题。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/084acf9b4f0124c0b38f51a14ef53417.png无界线性规划问题示例 - 图片由作者提供在 Python 中运行示例现在我们将探讨如何使用名为 pulp 的包在 Python 中解决这个线性规划问题。在我们深入这些细节之前我已经写了两篇关于线性规划的文章。一篇关于模拟的文章间接展示了线性规划如何帮助虚构的房地产开发商优化利润。另一篇文章介绍了名为“地球搬运工距离”的分布比较度量它在计算中使用了线性规划。下面是链接您可以查看更多线性规划的应用示例模拟数据真实学习情景分析使用地球迁移距离比较分布好的让我们继续编写我们一直在讨论的示例代码代码编写并不太难。在导入 pulp 包后我们实例化一个 pulp.LpProblem 对象——在这里我们定义我们是在解决最大化问题还是最小化问题。importpulp# Create the LP problemlp_problempulp.LpProblem(Apples and Candy Bars,pulp.LpMaximize)在我们的问题实例化后让我们使用 pulp.LpVariable 函数创建我们的决策变量即苹果和巧克力棒。注意可以将 lowBound 参数设置为 0为决策变量添加非负约束。# Define the decision variablesapplespulp.LpVariable(apples,lowBound0)candy_barspulp.LpVariable(candy_bars,lowBound0)现在我们使用‘’运算符将我们的目标函数和约束条件添加到问题实例中。Pulp 没有参数来指示你是否直接添加目标函数或约束条件。相反它将没有等式/不等式的函数解释为目标函数而有等式/不等式的函数解释为约束条件。这有点令人困惑但当你查看下面的代码片段时希望你会明白。# Add the objective function - level of enjoyment from specific diet# notice, no equality or inequality at the end of the functionlp_problem1*apples3*candy_bars# Add calorie constraintlp_problem95*apples215*candy_bars850# Add sugar constraintlp_problem15*apples20*candy_bars100好的现在一切都已经设置好了我们只需要在我们的 lp_problem 对象上调用 solve()方法并打印结果# Solve the problemlp_problem.solve()# Print the resultsprint(fStatus:{pulp.LpStatus[lp_problem.status]})print(fapples {pulp.value(apples)})print(fcandy bars {pulp.value(candy_bars)})print(fObjective value {pulp.value(lp_problem.objective)})这里是打印出的结果https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/a138630694f94ccf5e39edf706a88391.png作者图片“最优”状态意味着已经找到了最优解——如果没有找到可行解或者它是无界的那么“状态”属性将向我们指示这一点。我们可以看到最优解是吃 3.95 块巧克力棒和 0 个苹果总共获得 11.86 的享受。这正是我们手动解决问题时找到的结果这里是代码的单一片段importpulp# Create the LP problemlp_problempulp.LpProblem(Apples and Candy Bars,pulp.LpMaximize)# Define the decision variablesapplespulp.LpVariable(apples,lowBound0)candy_barspulp.LpVariable(candy_bars,lowBound0)# Add the objective function - level of enjoyment from specific dietlp_problem1*apples3*candy_bars# Add calorie constraintlp_problem95*apples215*candy_bars850# Add sugar constraintlp_problem15*apples20*candy_bars100# Solve the problemlp_problem.solve()# Print the resultsprint(fStatus:{pulp.LpStatus[lp_problem.status]})print(fapples {pulp.value(apples)})print(fcandy bars {pulp.value(candy_bars)})print(fMaximum enjoyment {pulp.value(lp_problem.objective)})结论到现在为止你应该已经很好地理解了什么是线性规划问题线性规划问题如何找到最优值以及如何在 Python 中设置和解决它们在未来的文章中我们将详细介绍 LP 算法如何检查边缘称为单纯形法以及如何将整数变量而不是仅连续变量扩展到 LP 问题中。