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游戏网站模板,小程序个人主页模板,建设信息网怎么进入,学网站开发需要报培训机构吗红⿊树的概念 红⿊树是⼀棵⼆叉搜索树#xff0c;他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊#xff0c;可以是红⾊或者⿊⾊。通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束#xff0c;红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍#xff0c;因⽽是接近平衡的…红⿊树的概念红⿊树是⼀棵⼆叉搜索树他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊可以是红⾊或者⿊⾊。通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍因⽽是接近平衡的。红⿊树的规则每个结点不是红⾊就是⿊⾊根结点是⿊⾊的如果⼀个结点是红⾊的则它的两个孩⼦结点必须是⿊⾊的也就是说任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点。对于任意⼀个结点从该结点到其所有NULL结点的简单路径上均包含相同数量的⿊⾊结点说明《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是⿊⾊的规则。他这⾥所指的叶⼦结点不是传统的意义上的叶⼦结点⽽是我们说的空结点有些书籍上也把NIL叫做外部结点。NIL是为了⽅便准确的标识出所有路径《算法导论》在后续讲解实现的细节中也忽略了NIL结点所以我们知道⼀下这个概念即可。思考⼀下红⿊树如何确保最⻓路径不超过最短路径的2倍的由规则4可知从根到NULL结点的每条路径都有相同数量的⿊⾊结点所以极端场景下最短路径就就是全是⿊⾊结点的路径假设最短路径⻓度为bh(black height)。由规则2和规则3可知任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点所以极端场景下最⻓的路径就是⼀⿊⼀红间隔组成那么最⻓路径的⻓度为2*bh。综合红⿊树的4点规则⽽⾔理论上的全⿊最短路径和⼀⿊⼀红的最⻓路径并不是在每棵红⿊树都存在的。假设任意⼀条从根到NULL结点路径的⻓度为x那么bh h 2*bh。红⿊树的效率假设N是红⿊树树中结点数量h最短路径的⻓度那么2h−1≤N22∗h−12^h-1\le N 2^{2*h}-12h−1≤N22∗h−1由此推出h≈log⁡Nh\approx \log Nh≈logN也就是意味着红⿊树增删查改最坏也就是⾛最⻓路径2∗log⁡N2*\log N2∗logN那么时间复杂度还是O(log⁡N)O(\log N)O(logN)。红⿊树的表达相对AVL树要抽象⼀些AVL树通过⾼度差直观的控制了平衡。红⿊树通过4条规则的颜⾊约束间接的实现了近似平衡他们效率都是同⼀档次但是相对⽽⾔插⼊相同数量的结点红⿊树的旋转次数是更少的因为他对平衡的控制没那么严格。红⿊树的实现红⿊树的结构// 枚举值表⽰颜⾊ enum Colour { RED, BLACK }; // 这⾥我们默认按key/value结构实现 templateclass K, class V struct RBTreeNode { // 这⾥更新控制平衡也要加⼊parent指针 pairK, V _kv; RBTreeNodeK, V* _left; RBTreeNodeK, V* _right; RBTreeNodeK, V* _parent; Colour _col; RBTreeNode(const pairK, V kv) :_kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) ,_col(RED) {} }; templateclass K, class V class RBTree { typedef RBTreeNodeK, V Node; public: private: Node* _root nullptr; };红⿊树的插⼊红⿊树树插⼊⼀个值的⼤概过程插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊插⼊后我们只需要观察是否符合红⿊树的4条规则。如果是空树插⼊新增结点是⿊⾊结点。如果是⾮空树插⼊新增结点必须红⾊结点因为⾮空树插⼊新增⿊⾊结点就破坏了规则4规则4是很难维护的。⾮空树插⼊后新增结点必须红⾊结点如果⽗亲结点是⿊⾊的则没有违反任何规则插⼊结束⾮空树插⼊后新增结点必须红⾊结点如果⽗亲结点是红⾊的则违反规则3。进⼀步分析c是红⾊p为红g必为⿊这三个颜⾊都固定了关键的变化看u的情况需要根据u分为以下⼏种情况分别处理。说明下图中假设我们把新增结点标识为c(cur)c的⽗亲标识为p(parent)p的⽗亲标识为g(grandfather)p的兄弟标识为uuncle。情况1变⾊c为红p为红g为⿊u存在且为红则将p和u变⿊g变红。在把g当做新的c继续往上更新。分析因为p和u都是红⾊g是⿊⾊把p和u变⿊左边⼦树路径各增加⼀个⿊⾊结点g再变红相当于保持g所在⼦树的⿊⾊结点的数量不变同时解决了c和p连续红⾊结点的问题需要继续往上更新是因为g是红⾊如果g的⽗亲还是红⾊那么就还需要继续处理如果g的⽗亲是⿊⾊则处理结束了如果g就是整棵树的根再把g变回⿊⾊。情况1只变⾊不旋转。所以⽆论c是p的左还是右p是g的左还是右都是上⾯的变⾊处理⽅式。跟AVL树类似图0我们展⽰了⼀种具体情况但是实际中需要这样处理的有很多种情况。图1将以上类似的处理进⾏了抽象表达d/e/f代表每条路径拥有hb个⿊⾊结点的⼦树a/b代表每条路径拥有hb-1个⿊⾊结点的根为红的⼦树hb0。图2/图3/图4分别展⽰了hb0/hb1/hb2的具体情况组合分析当hb等于2时这⾥组合情况上百亿种这些样例是帮助我们理解不论情况多少种多么复杂处理⽅式⼀样的变⾊再继续往上处理即可所以我们只需要看抽象图即可。情况2单旋变⾊c为红p为红g为⿊u不存在或者u存在且为⿊u不存在则c⼀定是新增结点u存在且为⿊则c⼀定不是新增c之前是⿊⾊的是在c的⼦树中插⼊符合情况1变⾊将c从⿊⾊变成红⾊更新上来的。分析p必须变⿊才能解决连续红⾊结点的问题u不存在或者是⿊⾊的这⾥单纯的变⾊⽆法解决问题需要旋转变⾊。如果p是g的左c是p的左那么以g为旋转点进⾏右单旋再把p变⿊g变红即可。p变成课这颗树新的根这样⼦树⿊⾊结点的数量不变没有连续的红⾊结点了且不需要往上更新因为p的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。如果p是g的右c是p的右那么以g为旋转点进⾏左单旋再把p变⿊g变红即可。p变成课这颗树新的根这样⼦树⿊⾊结点的数量不变没有连续的红⾊结点了且不需要往上更新因为p的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。情况2双旋变⾊c为红p为红g为⿊u不存在或者u存在且为⿊u不存在则c⼀定是新增结点u存在且为⿊则c⼀定不是新增c之前是⿊⾊的是在c的⼦树中插⼊符合情况1变⾊将c从⿊⾊变成红⾊更新上来的。分析p必须变⿊才能解决连续红⾊结点的问题u不存在或者是⿊⾊的这⾥单纯的变⾊⽆法解决问题需要旋转变⾊。如果p是g的左c是p的右那么先以p为旋转点进⾏左单旋再以g为旋转点进⾏右单旋再把c变⿊g变红即可。c变成课这颗树新的根这样⼦树⿊⾊结点的数量不变没有连续的红⾊结点了且不需要往上更新因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。如果p是g的右c是p的左那么先以p为旋转点进⾏右单旋再以g为旋转点进⾏左单旋再把c变⿊g变红即可。c变成课这颗树新的根这样⼦树⿊⾊结点的数量不变没有连续的红⾊结点了且不需要往上更新因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。红⿊树的插⼊代码实现// 旋转代码的实现跟AVL树是⼀样的只是不需要更新平衡因⼦ bool Insert(const pairK, V kv) { if (_root nullptr) { _root new Node(kv); _root-_col BLACK; return true; } Node* parent nullptr; Node* cur _root; while (cur) { if (cur-_kv.first kv.first) { parent cur; cur cur-_right; } else if (cur-_kv.first kv.first) { parent cur; cur cur-_left; } else { return false; } } cur new Node(kv); // 新增结点。颜⾊红⾊给红⾊ cur-_col RED; if (parent-_kv.first kv.first) { parent-_right cur; } else { parent-_left cur; } cur-_parent parent; while (parent parent-_col RED) { Node* grandfather parent-_parent; // p //g u if (parent grandfather-_left) { Node* uncle grandfather-_right; if (uncle uncle-_col RED) { // u存在且为红 -》变⾊再继续往上处理 parent-_col uncle-_col BLACK; grandfather-_col RED; cur grandfather; parent cur-_parent; } else { // u存在且为⿊或不存在 -》旋转变⾊ if (cur parent-_left) { // g // p u // c //单旋 RotateR(grandfather); parent-_col BLACK; grandfather-_col RED; } else { // g // p u // c //双旋 RotateL(parent); RotateR(grandfather); cur-_col BLACK; grandfather-_col RED; } break; } } else { // g // u p Node* uncle grandfather-_left; // 叔叔存在且为红-》变⾊即可 if (uncle uncle-_col RED) { parent-_col uncle-_col BLACK; grandfather-_col RED; // 继续往上处理 cur grandfather; parent cur-_parent; } else // 叔叔不存在或者存在且为⿊ { // 情况⼆叔叔不存在或者存在且为⿊ // 旋转变⾊ // g //u p // c if (cur parent-_right) { RotateL(grandfather); parent-_col BLACK; grandfather-_col RED; } else { // g //u p // c RotateR(parent); RotateL(grandfather); cur-_col BLACK; grandfather-_col RED; } break; } } } _root-_col BLACK; return true; }红⿊树的查找按⼆叉搜索树逻辑实现即可搜索效率为O(logN)Node* Find(const K key) { Node* cur _root; while (cur) { if (cur-_kv.first key) { cur cur-_right; } else if (cur-_kv.first key) { cur cur-_left; } else { return cur; } } return nullptr; }红⿊树的验证这⾥获取最⻓路径和最短路径检查最⻓路径不超过最短路径的2倍是不可⾏的因为就算满⾜这个条件红⿊树也可能颜⾊不满⾜规则当前暂时没出问题后续继续插⼊还是会出问题的。所以我们还是去检查4点规则满⾜这4点规则⼀定能保证最⻓路径不超过最短路径的2倍。规则1枚举颜⾊类型天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。规则2直接检查根即可规则3前序遍历检查遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便因为孩⼦有两个且不⼀定存在反过来检查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。规则4前序遍历遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(⿊⾊结点数量)前序遍历遇到⿊⾊结点就blackNum⾛到空就计算出了⼀条路径的⿊⾊结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点数量作为参考值依次⽐较即可。bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum) { if (root nullptr) { // 前序遍历⾛到空时意味着⼀条路径⾛完了 //cout blackNum endl; if (refNum ! blackNum) { cout 存在⿊⾊结点的数量不相等的路径 endl; return false; } return true; } // 检查孩⼦不太⽅便因为孩⼦有两个且不⼀定存在反过来检查⽗亲就⽅便多了 if (root-_col RED root-_parent-_col RED) { cout root-_kv.first 存在连续的红⾊结点 endl; return false; } if (root-_col BLACK) { blackNum; } return Check(root-_left, blackNum, refNum) Check(root-_right, blackNum, refNum); } bool IsBalance() { if (_root nullptr) return true; if (_root-_col RED) return false; // 参考值 int refNum 0; Node* cur _root; while (cur) { if (cur-_col BLACK) { refNum; } cur cur-_left; } return Check(_root, 0, refNum); }手撕红黑树#pragma once enum Colour { RED, BLACK }; templateclass K, class V struct RBTreeNode { RBTreeNodeK, V* _left; RBTreeNodeK, V* _right; RBTreeNodeK, V* _parent; pairK, V _kv; Colour _col; RBTreeNode(const pairK, V kv) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _kv(kv) ,_col(RED) {} }; templateclass K, class V class RBTree { typedef RBTreeNodeK, V Node; public: bool Insert(const pairK, V kv) { if (_root nullptr) { _root new Node(kv); _root-_col BLACK; return true; } Node* parent nullptr; Node* cur _root; while (cur) { if (cur-_kv.first kv.first) { parent cur; cur cur-_right; } else if (cur-_kv.first kv.first) { parent cur; cur cur-_left; } else { return false; } } cur new Node(kv); // 红色的 if (parent-_kv.first kv.first) { parent-_right cur; } else { parent-_left cur; } cur-_parent parent; while (parent parent-_col RED) { Node* grandfather parent-_parent; if (parent grandfather-_left) { Node* uncle grandfather-_right; // 情况一叔叔存在且为红 if (uncle uncle-_col RED) { // 变色 parent-_col uncle-_col BLACK; grandfather-_col RED; // 继续往上处理 cur grandfather; parent cur-_parent; } else { // 情况二叔叔不存在或者存在且为黑 // 旋转变色 if (cur parent-_left) { // g // p u // c RotateR(grandfather); parent-_col BLACK; grandfather-_col RED; } else { // g // p u // c RotateL(parent); RotateR(grandfather); cur-_col BLACK; grandfather-_col RED; } break; } } else { Node* uncle grandfather-_left; // 情况一叔叔存在且为红 if (uncle uncle-_col RED) { // 变色 parent-_col uncle-_col BLACK; grandfather-_col RED; // 继续往上处理 cur grandfather; parent cur-_parent; } else { // 情况二叔叔不存在或者存在且为黑 // 旋转变色 // g // u p // c if (cur parent-_right) { RotateL(grandfather); parent-_col BLACK; grandfather-_col RED; } else { // g // u p // c RotateR(parent); RotateL(grandfather); cur-_col BLACK; grandfather-_col RED; } break; } } } _root-_col BLACK; return true; } void RotateL(Node* parent) { Node* subR parent-_right; Node* subRL subR-_left; parent-_right subRL; if (subRL) subRL-_parent parent; subR-_left parent; Node* ppnode parent-_parent; parent-_parent subR; if (parent _root) { _root subR; subR-_parent nullptr; } else { if (ppnode-_left parent) { ppnode-_left subR; } else { ppnode-_right subR; } subR-_parent ppnode; } } void RotateR(Node* parent) { Node* subL parent-_left; Node* subLR subL-_right; parent-_left subLR; if (subLR) subLR-_parent parent; subL-_right parent; Node* ppnode parent-_parent; parent-_parent subL; if (parent _root) { _root subL; subL-_parent nullptr; } else { if (ppnode-_left parent) { ppnode-_left subL; } else { ppnode-_right subL; } subL-_parent ppnode; } } void _InOrder(Node* root) { if (root nullptr) return; _InOrder(root-_left); cout root-_kv.first endl; _InOrder(root-_right); } void InOrder() { _InOrder(_root); } bool Check(Node* cur) { if (cur nullptr) return true; if (cur-_col RED cur-_parent-_col RED) { cout cur-_kv.first 存在连续的红色节点 endl; return false; } return Check(cur-_left) Check(cur-_right); } bool IsBalance() { if (_root _root-_col RED) return false; return Check(_root); } private: Node* _root nullptr; }; void TestRBTree1() { //int a[] { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; int a[] { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }; RBTreeint, int t; for (auto e : a) { t.Insert(make_pair(e, e)); // 1、先看是插入谁导致出现的问题 // 2、打条件断点画出插入前的树 // 3、单步跟踪对比图一一分析细节原因 //cout e - t.IsBalance() endl; } t.InOrder(); cout t.IsBalance() endl; }test.cpp#includeiostream using namespace std; #includeset #includemap #includeAVLTree.h #includeRBTree.h void TestRBTree_AVLTree() { const int N 10000000; vectorint v; v.reserve(N); srand(time(0)); for (size_t i 0; i N; i) { v.push_back(rand() i); //v.push_back(i); //cout v.back() endl; } RBTreeint, int t1; AVLTreeint, int t2; size_t begin1 clock(); for (auto e : v) { t1.Insert(make_pair(e, e)); } size_t end1 clock(); size_t begin2 clock(); for (auto e : v) { t2.Insert(make_pair(e, e)); } size_t end2 clock(); cout RBTree RoateSize: t1.GetRotateSize() endl; cout AVLTree RoateSize: t2.GetRotateSize() endl; cout RBTree Insert: end1 - begin1 endl; cout AVLTree Insert: end2 - begin2 endl; cout RBTree IsBalance: t1.IsBalance() endl; cout AVLTree IsBalance: t2.IsBalance() endl; cout RBTree Height: t1.Height() endl; cout RBTree Size: t1.Size() endl; cout AVLTree Height: t2.Height() endl; cout AVLTree Size: t2.Size() endl; size_t begin3 clock(); // 确定在的值 for (auto e : v) { t1.Find(e); } // 随机值 /*for (size_t i 0; i N; i) { t1.Find((rand() i)); }*/ size_t end3 clock(); size_t begin4 clock(); // 确定在的值 for (auto e : v) { t2.Find(e); } // 随机值 /*for (size_t i 0; i N; i) { t2.Find((rand() i)); }*/ size_t end4 clock(); cout RBTree Find: end3 - begin3 endl; cout AVLTree Find: end4 - begin4 endl; } int main() { TestRBTree_AVLTree(); return 0; }红黑树与AVL树的比较红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树增删改查的时间复杂度都是O(log2Nlog_2Nlog2​N)红黑树不追求绝对平衡其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍相对而言降低了插入和旋转的次数所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优而且红黑树实现比较简单所以实际运用中红黑树更多。