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怎么制作网站设计,网站建设业,免费企业黄页网站入口,flash源文件网站第二章 整数规划 1 概论 1.1 定义 规划中的变量#xff08;部分或全部#xff09;限制为整数时#xff0c;称为整数规划。若在线性规划模型中#xff0c;变量限制为整数#xff0c;则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法#xff0c;往往只适用于整数…第二章 整数规划§1 概论1.1 定义规划中的变量部分或全部限制为整数时称为整数规划。若在线性规划模型中变量限制为整数则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。1.2 整数规划的分类如不加特殊说明一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类 1o 变量全限制为整数时称纯完全整数规划。2o 变量部分限制为整数的称混合整数规划。1.2 整数规划特点i 原线性规划有最优解当自变量限制为整数后其整数规划解出现下述情况①原线性规划最优解全是整数则整数规划最优解与线性规划最优解一致。②整数规划无可行解。例 1 原线性规划为min z x1 x22x1 4x2 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0其最优实数解为x1 0, xmin z③有可行解当然就存在最优解但最优解值变差。例 2 原线性规划为min z x1 x22x1 4x2 6, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0其最优实数解为x1 0, xmin z若限制整数得x1 1, x2 1, min z 2 。ii 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。1.3 求解方法分类i分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。ii割平面法—可求纯或混合整数线性规划。iii隐枚举法—求解“0-1”整数规划①过滤隐枚举法②分枝隐枚举法。iv匈牙利法—解决指派问题“0-1”规划特殊情形。v蒙特卡洛法—求解各种类型规划。下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。§2 分枝定界法对有约束条件的最优化问题其可行解为有限数的所有可行解空间恰当地进行系统搜索这就是分枝与定界内容。通常把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集称为分枝并且对每个子集内的解集计算一个目标下界对于最小值问题这称为定界。在每次分枝后凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝 -16-这样许多子集可不予考虑这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由 Land Doig 和 Dakin 等人提出的。由于这方法灵活且便于用计算机求解所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。设有最大化的整数规划问题 A与它相应的线性规划为问题B 从解问题B 开始若其最优解不符合 A的整数条件那么B 的最优目标函数必是 A的最优目标函数z* 的上界记作 z 而 A 的任意可行解的目标函数值将是z * 的一个下界 z 。分枝定界法就是将B 的可行域分成子区域的方法。逐步减小 z 和增大z 最终求到z * 。现用下例来说明例 3 求解下述整数规划Max z 40x1 90x2整数解 i先不考虑整数限制即解相应的线性规划B 得最优解为x1 4.8092, x2 1.8168, z 355.8779可见它不符合整数条件。这时 z 是问题 A 的最优目标函数值 z* 的上界记作 z 。而x1 0, x2 0 显然是问题 A 的一个整数可行解这时z 0 是z * 的一个下界记作z 即0 ≤ z* ≤ 356 。ii因为x1 , x2 当前均为非整数故不满足整数要求任选一个进行分枝。设选x1进行分枝把可行集分成 2 个子集x1 ≤ [4.8092] 4 x1 ≥ [4.8092] 1 5因为 4 与5 之间无整数故这两个子集的整数解必与原可行集合整数解一致。这一步称为分枝。这两个子集的规划及求解如下问题B1 Max z 40x1 90x2最优解为x1 4.0, x2 2.1, z1 349 。问题B2 Max z 40x1 90x2最优解为x1 5.0, x2 1.57, z1 341.4 。再定界0 ≤ z* ≤ 349 。iii对问题 B1 再进行分枝得问题B11 和B12 它们的最优解为-17-B11 : x1 4, x2 2, z11 340B12 : x1 1.43, x2 3.00, z12 327.14再定界340 ≤ z* ≤ 341并将 B12 剪枝。iv对问题 B2 再进行分枝得问题B21 和B22 它们的最优解为B21 : x1 5.44, x2 1.00, z22 308B22 无可行解。将B21, B22 剪枝。于是可以断定原问题的最优解为*x1 4, x2 2, z 340从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划最大化问题的步骤为开始将要求解的整数规划问题称为问题 A将与它相应的线性规划问题称为问题B 。i解问题 B 可能得到以下情况之一aB 没有可行解这时 A 也没有可行解则停止b B 有最优解并符合问题 A 的整数条件 B 的最优解即为 A 的最优解则停止。cB 有最优解但不符合问题 A 的整数条件记它的目标函数值为z 。ii用观察法找问题 A 的一个整数可行解一般可取xj 0, j 1, … , n 试探求得其目标函数值并记作z 。以 z * 表示问题 A 的最优目标函数值这时有*z ≤ z ≤ z进行迭代。第一步分枝在B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj 其值为 bj 以[bj ] 表示小于bj 的最大整数。构造两个约束条件xj ≤ [bj ] 和 xj ≥ [bj ] 1将这两个约束条件分别加入问题B 求两个后继规划问题B1 和B2 。不考虑整数条件求解这两个后继问题。定界以每个后继问题为一分枝标明求解的结果与其它问题的解的结果中找出最优目标函数值最大者作为新的上界z 。从已符合整数条件的各分支中 找出目标函数值为最大者作为新的下界z 若无作用 z 不变。第二步比较与剪枝各分枝的最优目标函数中若有小于z 者则剪掉这枝即以后不再考虑了。若大于 z 且不符合整数条件则重复第一步骤。一直到最后得到z* z 为止。得最优整数解x , j 1, … , n 。§3 0 −1 型整数规划0 −1 型整数规划是整数规划中的特殊情形它的变量xj 仅取值 0 或 1。这时xj 称为0 −1 变量或称二进制变量。xj 仅取值 0 或 1 这个条件可由下述约束条件0 ≤ xj ≤ 1整数-18-所代替是和一般整数规划的约束条件形式一致的。在实际问题中 如果引入 0 −1 变量就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。我们先介绍引入0 −1 变量的实际问题再研究解法。3.1 引入0 −1 变量的实际问题3.1.1 投资场所的选定——相互排斥的计划例 4 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有 7 个位置点 Ai (i 1,2, … ,7) 可供选择。规定在东区。由 A1, A2, A3 三个点中至多选两个在西区。由 A4, A5 两个点中至少选一个在南区由 A6, A7 两个点中至少选一个。如选用 Ai 点设备投资估计为bi 元每年可获利润估计为ci 元但投资总额不能超过B 元。问应选择哪几个点可使年利润为最大解题时先引入0 −1 变量xi (i 1,2, … ,7)令i l0 当Ai点没被选中. , , ,于是问题可列写成xi 0或13.1.2 相互排斥的约束条件有两个相互排斥的约束条件5x1 4x2 ≤ 24 或 7x1 3x2 ≤ 45 。为了统一在一个问题中引入0 −1 变量y 则上述约束条件可改写为其中M 是充分大的数。约束条件x1 0 或 500 ≤ x1 ≤ 800可改写为-19-如果有m 个互相排斥的约束条件ai1x1 … ainxn ≤ bi i 1,2, … , m为了保证这m 个约束条件只有一个起作用我们引入m 个 0 −1 变量yi (i 1,2, … , m)和一个充分大的常数M 而下面这一组m 1 个约束条件ai1x1 ainxn ≤ bi yiM i 1,2, … , m 1y1 ym m −1 2就合于上述的要求。这是因为由于2m 个yi 中只有一个能取 0 值设 yi* 0 代入1就只有i i * 的约束条件起作用而别的式子都是多余的。3.1.3 关于固定费用的问题Fixed Cost Problem在讨论线性规划时有些问题是要求使成本为最小。那时总设固定成本为常数并在线性规划的模型中不必明显列出。但有些固定费用固定成本的问题不能用一般线性规划来描述但可改变为混合整数规划来解决见下例。例 5 某工厂为了生产某种产品有几种不同的生产方式可供选择如选定的生产方式投资高选购自动化程度高的设备由于产量大因而分配到每件产品的变动成本就降低反之如选定的生产方式投资低将来分配到每件产品的变动成本可能增加。所以必须全面考虑。今设有三种方式可供选择令xj 表示采用第j 种方式时的产量cj 表示采用第j 种方式时每件产品的变动成本kj 表示采用第j 种方式时的固定成本。为了说明成本的特点暂不考虑其它约束条件。采用各种生产方式的总成本分别为cj xj j 1,2,3 .在构成目标函数时为了统一在一个问题中讨论现引入0 −1变量 yj 令yj 式即x时. 3于是目标函数min z (k1y1 c1x1 ) (k2 y2 c2 x2 ) (k3y3 c3x3 )3式这个规定可表为下述 3 个线性约束条件yj ε ≤ xj ≤ yj M , j 1,2,3 4其中 ε 是一个充分小的正常数M 是个充分大的正常数。4式说明当xj 0 时yj必须为 1当 xj 0 时只有yj 为 0 时才有意义所以4式完全可以代替3式。3.2 0 −1型整数规划解法之一过滤隐枚举法解0 −1型整数规划最容易想到的方法和一般整数规划的情形一样就是穷举法即检查变量取值为 0 或 1 的每一种组合比较目标函数值以求得最优解这就需要检查变量取值的2n 个组合。对于变量个数n 较大例如n 100 这几乎是不可能的。因此常设计一些方法只检查变量取值的组合的一部分就能求到问题的最优解。这样的方法称为隐枚举法Implicit Enumeration分枝定界法也是一种隐枚举法。当然对-20-有些问题隐枚举法并不适用所以有时穷举法还是必要的。下面举例说明一种解0 −1型整数规划的隐枚举法。例 6 Max z 3x1 − 2x2 5x3求解思路及改进措施i 先试探性求一个可行解易看出(x1, x2, x3 ) (1,0,0) 满足约束条件故为一个可行解且z 3 。ii 因为是求极大值问题故求最优解时凡是目标值z 3 的解不必检验是否满足约束条件即可删除因它肯定不是最优解于是应增加一个约束条件目标值下界iii 改进过滤条件。iv 由于对每个组合首先计算目标值以验证过滤条件故应优先计算目标值z 大的组合这样可提前抬高过滤门槛以减少计算量。§4 蒙特卡洛法随机取样法前面介绍的常用的整数规划求解方法主要是针对线性整数规划而言而对于非线性整数规划目前尚未有一种成熟而准确的求解方法因为非线性规划本身的通用有效解法尚未找到更何况是非线性整数规划。然而尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度然而又由于整数解是有限个于是为枚举法提供了方便。当然 当自变量维数很大和取值范围很宽情况下企图用显枚举法即穷举法计算出最优值是不现实的但是应用概率理论可以证明在一定的计算量的情况下完全可以得出一个满意解。例 7 已知非线性整数规划为− 8x1 − 2x2 − 3x3 − x4 − 2x5如果用显枚举法试探共需计算(100)5 1010 个点其计算量非常之大。然而应用蒙特卡洛去随机计算106 个点便可找到满意解那么这种方法的可信度究竟怎样呢下面就分析随机取样采集106 个点计算时应用概率理论来估计一下可信度。不失一般性假定一个整数规划的最优点不是孤立的奇点。假设目标函数落在高值区的概率分别为 0.01 0.00001则当计算106 个点后有-21-任一个点能落在高值区的概率分别为1 - 0.991000000 ≈ 0.99…99(100多位1- 0.999991000000 ≈ 0.999954602 。解 i首先编写 M 文件 mente.m 定义目标函数 f 和约束向量函数 g程序如下function [f,g]mengte(x);fx(1)2x(2)23x(3)24*x(4)22x(5)-8x(1)-2x(2)-3x(3)-… x(4)-2x(5);g[sum(x)-400x(1)2x(2)2x(3)x(4)6x(5)-800 2x(1)x(2)6x(3)-200x(3)x(4)5x(5)-200];ii编写M文件mainint.m如下求问题的解 rand(‘state’,sum(clock));p00;ticfor i1:10^6x99*rand(5,1);x1floor(x);x2ceil(x);[f,g]mengte(x1); if sum(g0)4if p0fx0x1;p0f; endend[f,g]mengte(x2); if sum(g0)4if p0fx0x2;p0f;end endendx0,p0toc本题可以使用LINGO软件求得精确的全局最有解程序如下model:sets:row/1…4/:b;col/1…5/:c1,c2,x;link(row,col):a;endsetsdata:c11,1,3,4,2;c2-8,-2,-3,-1,-2;a1 1 1 1 11 2 2 1 62 1 6 0 0-22-0 0 1 1 5;b400,800,200,200; enddatamaxsum(col:c1x^2c2x);for(row(i):sum(col(j):a(i,j)*x(j))b(i));for(col:gin(x));for(col:bnd(0,x,99));end§5 指派问题的计算机求解整数规划问题的求解可以使用 Lingo 等专用软件。对于一般的整数规划问题无法直接利用 Matlab 的函数必须利用 Matlab 编程实现分枝定界解法和割平面解法。但对于指派问题等0 -1 整数规划问题可以直接利用 Matlab 的函数 bintprog 进行求解。例 8 求解下列指派问题已知指派矩阵为解编写 Matlab 程序如下c[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 58 4 2 3 5;9 10 6 9 10];cc(;azeros(10,25);for i1:5a(i,(i-1)51:5i)1;a(5i,i:5:25)1;endbones(10,1);[x,y]bintprog(c,[],[],a,b);xreshape(x,[5,5]),y求得最优指派方案为x15 x23 x32 x44 x51 1最优值为 21。求解的 LINGO 程序如下model:sets:var/1…5/;link(var,var):c,x;endsetsdata:c3 8 2 10 38 7 2 9 76 4 2 7 58 4 2 3 59 10 6 9 10;enddataminsum(link:c*x);for(var(i):sum(var(j):x(i,j))1);for(var(j):sum(var(i):x(i,j))1);-23-for(link:bin(x));end§6 生产与销售计划问题6.1 问题实例例 9 某公司用两种原油 A 和B 混合加工成两种汽油甲和乙。甲、乙两种汽油含原油的最低比例分别为 50和 60每吨售价分别为 4800 元和 5600 元。该公司现有原油 A 和B 的库存量分别为 500 吨和 1000 吨还可以从市场上买到不超过 1500吨的原油 A 。原油 A 的市场价为购买量不超过 500 吨时的单价为 10000 元/吨购买量超过 500 吨单不超过 1000 吨时超过 500 吨的部分 8000 元/吨购买量超过 1000 吨时超过 1000 吨的部分 6000 元/吨。该公司应如何安排原油的采购和加工。6.2 建立模型1问题分析安排原油采购、加工的目标是利润最大题目中给出的是两种汽油的售价和原油 A的采购价利润为销售汽油的收入与购买原油 A 的支出之差。这里的难点在于原油 A 的采购价与购买量的关系比较复杂是分段函数关系能否及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在。2模型建立设原油 A 的购买量为x 单位吨。根据题目所给数据 采购的支出c(x) 可表示为如下的分段线性函数以下价格以千元/吨为单位设原油 A 用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x11 和x12 原油 B 用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x21 和x22 则总的收入为4.8(x11 x21 ) 5.6(x12 x22 )千元。于是本例的目标函数利润为max z 4.8(x11 x21 ) 5.6(x12 x22 ) - c(x) 6约束条件包括加工两种汽油用的原油 A 、原油 B 库存量的限制原油 A 购买量的限制以及两种汽油含原油 A 的比例限制它们表示为x11 x12 ≤ 500 x 7x21 x22 ≤ 1000 8x ≤ 1500 91011x11 , x12 , x21 , x22 , x ≥ 0 12由于5式中的c(x) 不是线性函数5~12给出的是一个非线性规划而且对于这样用分段函数定义的c(x) 一般的非线性规划软件也难以输入和求解。能不能想办法将该模型化简从而用现成的软件求解呢-24-6.3 求解模型下面介绍 3 种解法1解法一一个自然的想法是将原油 A 的采购量x 分解为三个量即用 x1, x2, x3 分别表示以价格 10 千元/ 吨、 8 千元/ 吨、 6 千元/ 吨采购的原 油 A 的 吨 数 总支出为c(x) 10x1 8x2 6x3 且x x1 x2 x3 13这时目标函数6变为线性函数max z 4.8(x11 x21 ) 5.6(x12 x22 ) − (10x1 8x2 6x3 ) 14应该注意到只有当以 10 千元/吨的价格购买x1 500 吨时才能以 8 千元/吨的价格购买x2 ( 0) 这个条件可以表示为(x1 − 500)x2 0 15同理只有当以 8 千元/吨的价格购买x2 500 吨时才能以 6 千元/吨的价格购买x3 ( 0) 于是(x2 − 500)x3 0 16此外x1 , x2 , x3 的取值范围是0 ≤ x1 , x2 , x3 ≤ 500 17由于有非线性约束15、16因而717构成非线性规划模型。将该模型输入 LINGO 软件如下model:sets:var1/1…4/:y; !这里y(1)x11,y(2)x21,y(3)x12,y(4)x22;var2/1…3/:x,c;endsetsmax4.8*(y(1)y(2))5.6*(y(3)y(4))-sum(var2:cx);y(1)y(3)sum(var2:x)500;y(2)y(4)1000;0.5(y(1)-y(2))0;0.4y(3)-0.6y(4)0;(x(1)-500)*x(2)0;(x(2)-500)*x(3)0;for(var2:bnd(0,x,500));data:c10 8 6;enddataend可以用菜单命令“LINGO|Options”在“Global Solver”选项卡上启动全局优化选型并运行上述程序求得全局最有解购买 1000 吨原油 A与库存的 500 吨原油 A 和1000 吨原油B 一起共生产 2500 吨汽油乙利润为 5000千元。2解法二引入 01 变量将15和16转化为线性约束。令z1 1 z2 1 z3 1分别表示以 10 千元/吨、8 千元/吨、6 千元/吨的价格采购原油 A 则约束15和16可以替换为-25-500z2 ≤ x1 ≤ 500z1 18500z3 ≤ x2 ≤ 500z2 19x3 ≤ 500z3 20z1 , z2 , z3 0 或 1 21式714式1721构成混合整数线性规划模型将它输入 LINGO 软件如下model:sets:var1/1…4/:y; !这里y(1)x11,y(2)x21,y(3)x12,y(4)x22;var2/1…3/:x,z,c;endsetsmax4.8*(y(1)y(2))5.6*(y(3)y(4))-sum(var2:cx);y(1)y(3)sum(var2:x)500;y(2)y(4)1000;0.5(y(1)-y(2))0;0.4y(3)-0.6y(4)0;for(var1(i) |i #lt# 3:500z(i1)x(i);x(i)500z(i)); x(3)500*z(3);for(var2:bin(z));for(var2:bnd(0,x,500));data:c10 8 6;enddataend3解法三直接处理分段线性函数c(x) 。式5表示的函数c(x) 如图 1 所示。记x 轴上的分点为b1 0 b2 500 b3 1000 。当 x 属于第 1 个小区间[b1, b2 ]时记x w1b1 w2b2 w1 w2 1 w1 , w2 ≥ 0 因为 c(x) 在[b1, b2 ] 上是线性的图 1 分段线性函数 c(x) 图形所 以 c(x) w1c(b1 ) w2 c(b2 ) 。 同 样 当 x 属 于 第 2 个 小 区 间 [b2, b3 ] 时 x w2b2 w3b3 w2 w3 1 w2 , w3 ≥ 0 c(x) w2 c(b2 ) w3c(b3 ) 。当 x 属于第3 个 小 区 间 [b3, b4 ] 时 x w3b3 w4b4 w3 w4 1 w3 , w4 ≥ 0 c(x) w3c(b3 ) w4 c(b4 ) 。为了表示 x 在哪个小区间引入 0-1 变量zk (k 1,2,3) 当x 在第k 个小区间时 zk 1 否则zk 0 。这样 w1, w2, w3, w4, z1, z2, z3 应满-26-足w1 ≤ z1 w2 ≤ z1 z2 w3 ≤ z2 z3 w4 ≤ z3 22w1 w2 w3 w4 1 wk ≥ 0 k 1,2,3,4 23z1 z2 z3 1 z1 , z2 , z3 0 或1 24此时x 和c(x) 可以统一地表示为x w1b1 w2b2 w3b3 w4b4 500w2 1000w3 1500w4 25式613式2226也构成一个混合整数线性规划模型可以用LINGO 求解。输入的 LINGO 模型如下model:sets:var/1…4/:b,c,y,z,w;!这里y(1)x11,y(2)x21,y(3)x12,y(4)x22端点数为4即分段数为3;endsets data:b0,500,1000,1500;c0,5000,9000,12000;z,0; !增加的虚拟变量z(4)0;enddatamax4.8*(y(1)y(2))5.6*(y(3)y(4))-sum(var:cw);y(1)y(3)sum(var:bw)500;y(2)y(4)1000;0.5*(y(1)-y(2))0;0.4y(3)-0.6y(4)0;w(1)z(1);for(var(i) |i #ne# 1:w(i)z(i-1)z(i));sum(var:z)1;sum(var:w)1;for(var:bin(z));End注这个问题的关键是处理分段线性函数我们推荐化为整数线性规划模型的第2和第3种解法第3种解法更具一般性其做法如下。设一个n 段线性函数f (x) 的分点为b1 ≤ … ≤ bn ≤ bn1 引入 wk 将x 和f (x) 表示为wk 和0-1变量zk 满足w1 ≤ z1 w2 ≤ z1 z2 … , wn ≤ zn−1 zn wn1 ≤ zn 27-27-z1 z2 … zn 1 zk 0 或1 28w1 w2 … wn1 1 wk ≥ 0 k 1,2, … , n 1 29习 题 二用分枝定界法解Max z x1 x2整数试将下述非线性的0 - 1规划问题转换成线性的0 - 1规划问题max z x1 x1x2 - x3某钻井队要从以下 10 个可供选择的井位中确定 5 个钻井探油使总的钻探费用为最小。若 10 个井位的代号为s1 , s2 , … , s10 相应的钻探费用为c1 , c2 , … , c10 并且井位选择上要满足下列限制条件1 或选择s1 和s7 或选择钻探 s9 2 选择了s3 或s4 就不能选s5 或反过来也一样3 在s5, s6, s7, s8 中最多只能选两个试建立这个问题的整数规划模型。4有一条河流由于河床泥沙淤结每当上游发生洪水时就会破堤淹没两岸造成人员和财产的损失为减少总的损失人们采取破堤泄洪的方法图 2 是该河流一岸区域的信息示意图在该区域边界上有很高的山使该区域成为封闭区域。区域内又分成十五个小区每个小区内标有三个数字分别表示该区域的海拔高度 h(m) 、面积S(km2 ) 和被完全淹没时土地、房屋和财产等损失总数k 百万元我们假设a各小区间有相对高度为 1.2m 的小堤相互隔离例如第一区和第二区之间事实上有海拔 5.2m 小堤。b当洪水淹没一个小区且洪水高于该小区高度pm时该小区的损失f(k, p) 为该小区的k 和p 的函数c假设决堤口可选在大堤或小堤的任何地方决堤口的数量不受限制但已经决口就不能再补合从河流经大堤决口流入小区的洪水量按决口数成比例分配如在小区之间小堤开一决口则假设该两小区之间的这段小堤不复存在若水位高过小堤则将自动向邻近最低的小区泄洪若这样的小区有多块时则平均泄洪。求-28-1整个区域全部受损失的最小洪水量Q 。2当洪水量为Q /6 Q /3 时分别制定泄洪方案使总损失最小在一种方案中决堤同时进行并计算出该方案的损失数。图 2 河流一岸区域示意图表 1 校址选择数据备选校址 B1 B2 B3 B4 B5 B6覆盖的居民小区 1 , 57 1 , 25 , 8 1 , 3 ,5 A AA8 A3 , A6 A AA85 某市为方便小学生上学拟在新建的 8 个居民小区 A1 , A2 , … , A8 增设若干所-29-小学经过论证知备选校址有:B1 , B2 , … , B6 ,它们能够覆盖的居民小区如表 1。试建立一个数学模型确定出最小个数的建校地址使其能覆盖所有的居民小区。6 某公司新购置了某种设备 6 台欲分配给下属的 4 个企业已知各企业获得这种设备后年创利润如表 2 所示单位为千万元。问应如何分配这些设备能使年创总利润最大最大利润是多少表 2 各企业获得设备的年创利润数企业设备 甲 乙 丙 丁1 4 2 3 42 6 4 5 53 7 6 7 64 7 8 8 65 7 9 8 66 7 10 8 67 有一场由四个项目(高低杠、平衡木、跳马、自由体操) 组成的女子体操团体赛赛程规定每个队至多允许 10 名运动员参赛每一个项目可以有 6 名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为109.99.8…0.10。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和总分最多的代表队为优胜者。此外 还规定每个运动员只能参加全能比赛(四项全参加) 与单项比赛这两类中的一类参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。每个队应有 4 人参加全能比赛其余运动员参加单项比赛。表 3 运动员各项目得分及概率分布表运动员项目12345高低杠 8.4~0.159.5~0.59.2~0.259.4~0.1 9.3~0.19.5~0.19.6~0.69.8~0.2 8.4~0.18.8~0.29.0~0.610~0.1 8.1~0.19.1~0.59.3~0.39.5~0.1 8.4~0.159.5~0.59.2~0.259.4~0.1平衡木 8.4~0.18.8~0.29.0~0.610~0.1 8.4~0.159.0~0.59.2~0.259.4~0.1 8.1~0.19.1~0.59.3~0.39.5~0.1 8.7~0.18.9~0.29.1~0.69.9~0.1 9.0~0.19.2~0.19.4~0.69.7~0.2跳马 9.1~0.19.3~0.19.5~0.69.8~0.2 8.4~0.18.8~0.29.0~0.610~0.1 8.4~0.159.5~0.59.2~0.259.4~0.1 9.0~0.19.4~0.19.5~0.59.7~0.3 8.3~0.18.7~0.18.9~0.69.3~0.2自由体操 8.7~0.18.9~0.29.1~0.69.9~0.1 8.9~0.19.1~0.19.3~0.69.6~0.2 9.5~0.19.7~0.19.8~0.610~0.2 8.4~0.18.8~0.29.0~0.610~0.1 9.4~0.19.6~0.19.7~0.69.9~0.2续表 3 运动员各项目得分及概率分布表运动员项目678910-30-高低杠 9.4~0.19.6~0.19.7~0.69.9~0.2 9.5~0.19.7~0.19.8~0.610~0.2 8.4~0.18.8~0.29.0~0.610~0.1 8.4~0.159.5~0.59.2~0.259.4~0.1 9.0~0.19.2~0.19.4~0.69.7~0.2平衡木 8.7~0.1 8.4~0.1 8.8~0.05 8.4~0.1 8.1~0.18.9~0.2 8.8~0.2 9.2~0.05 8.8~0.1 9.1~0.59.1~0.6 9.0~0.6 9.8~0.5 9.2~0.6 9.3~0.39.9~0.1 10~0.1 10~0.4 9.8~0.2 9.5~0.1跳马 8.5~0.1 8.3~0.1 8.7~0.1 8.4~0.1 8.2~0.18.7~0.1 8.7~0.1 8.9~0.2 8.8~0.2 9.2~0.58.9~0.5 8.9~0.6 9.1~0.6 9.0~0.6 9.4~0.39.1~0.3 9.3~0.2 9.9~0.1 10~0.1 9.6~0.1自由体操 8.4~0.15 8.4~0.1 8.2~0.1 9.3~0.1 9.1~0.19.5~0.5 8.8~0.1 9.3~0.5 9.5~0.1 9.3~0.19.2~0.25 9.2~0.6 9.5~0.3 9.7~0.5 9.5~0.69.4~0.1 9.8~0.2 9.8~0.1 9.9~0.3 9.8~0.2现某代表队的教练已经对其所带领的 10 名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在 4 个得分上(见表 3) 她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出(见表中第二个数据。例如8.40.15 表示取得8.4 分的概率为 0.15)。试解答以下问题1每个选手的各单项得分按最悲观估算在此前提下请为该队排出一个出场阵容使该队团体总分尽可能高每个选手的各单项得分按均值估算在此前提下请为该队排出一个出场阵容使该队团体总分尽可能高。2若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到本次夺冠的团体总分估计为不少于 236.2 分该队为了夺冠应排出怎样的阵容以该阵容出战其夺冠的前景如何得分前景即期望值又如何它有 90的把握战胜怎样水平的对手