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phpcms网站模版下载,网站关键词优化原理,合肥网站营销,wordpress修改数据库配置文件一阶线性齐次微分方程的形式如下#xff1a; dydxP(x)y0\frac{\text{dy}}{\text{dx}} P\left( x \right)y 0dxdy​P(x)y0 这同样是一种特殊、相对简单的常微分方程#xff0c;只是比可分离变量方程、齐次微分方程稍显复杂那么一点点。 要想看更多有趣的微积分故事、知识dy dx P ( x ) y 0 \frac{\text{dy}}{\text{dx}} P\left( x \right)y 0dxdy​P(x)y0这同样是一种特殊、相对简单的常微分方程只是比可分离变量方程、齐次微分方程稍显复杂那么一点点。要想看更多有趣的微积分故事、知识请参见清华大学出版社的《人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分》邓子云著。首先从名称上来理解这种方程。所谓**“一阶”**是指导数只有一阶不涉及二阶导数和更高阶的导数。所谓**“齐次”**也具有两层含义。第一层含义看形式。从外观上来看方程的右边为0左边除了dy dx \frac{\text{dy}}{\text{dx}}dxdy​、P ( x ) y P\left( x \right)yP(x)y外再没有其它的项。第二层含义看实质。这与此前学习的齐次微分方程类似。如果x xx和y yy如果同时乘以常数k ( k ≠ 0 ) k(k \neq 0)k(k0)可得d ( k y ) d ( k y ) P ( kx ) k y 0 ⟹ dy dx P ( kx ) k y 0 \frac{d(ky)}{d(ky)} P\left( \text{kx} \right)ky 0 \Longrightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}} P\left( \text{kx} \right)ky 0d(ky)d(ky)​P(kx)ky0⟹dxdy​P(kx)ky0从形式上来看它仍然是一个一阶齐次线性微分方程。所谓**“线性”**就是指没有只有有关y的一次方多项式不会出现有关y 2 y^{2}y2、y dy dx y\frac{\text{dy}}{\text{dx}}ydxdy​、( dy dx ) 2 \left( \frac{\text{dy}}{\text{dx}} \right)^{2}(dxdy​)2等形式的二次方及以上多项式。**学习点拨**一阶线性微分方程中也不会出现有关x的二次方及以上多项式但是P ( x ) P\left( x \right)P(x)中可以出现关于x的二次方及以上多项式。接下来看如何求解一阶齐次线性微分方程。dy dx P ( x ) y 0 ⟹ dy dx − P ( x ) y ⟹ 1 y d y − P ( x ) d x ⟹ ∫ 1 y dy − ∫ P ( x ) dx \frac{\text{dy}}{\text{dx}} P\left( x \right)y 0 \Longrightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}} - P\left( x \right)y \Longrightarrow \frac{1}{y}dy - P\left( x \right)dx \Longrightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{y}\text{dy}} - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}}dxdy​P(x)y0⟹dxdy​−P(x)y⟹y1​dy−P(x)dx⟹∫​y1​dy−∫​P(x)dx⟹ ln ⁡ ∣ y ∣ − ∫ P ( x ) dx C ⟹ y ± e − ∫ P ( x ) dx C \Longrightarrow \ln\left| y \right| - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} C \Longrightarrow y \pm e^{- \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} C}⟹ln∣y∣−∫​P(x)dxC⟹y±e−∫​P(x)dxC考虑到e ee的指数中有函数看起来指数上的文字会比较小容易看错所以常把e ee的幂次形式写成exp ⁡ ( ) \exp()exp()的形式。y ± e xp ( − ∫ P ( x ) dx C ) ⟹ y ± e xp ( − ∫ P ( x ) dx ) e x p ( C ) y \pm e\text{xp}\left( - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} C \right) \Longrightarrow y \pm e\text{xp}\left( - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} \right)exp\left( C \right)y±exp(−∫​P(x)dxC)⟹y±exp(−∫​P(x)dx)exp(C)这个式子中因为± e x p ( C ) \pm exp\left( C \right)±exp(C)可正、可负结果仍然是一个常数且这个常数可表达出的数值范围是任意的正数、负数所以± e x p ( C ) \pm exp\left( C \right)±exp(C)可以用另一个常数D DD来代替。因此可以写为y D ∙ e xp ( − ∫ P ( x ) dx ) y D \bullet e\text{xp}\left( - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} \right)yD∙exp(−∫​P(x)dx)**学习点拨**如何是否可以用常数D DD代替含有常数C CC的项**标准就看替换后是否影响表达的数值范围。**如果不影响就可以替换。后续的学习中还会有很多这样的简化应用。要想看更多有趣的微积分故事、知识请参见清华大学出版社的《人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分》邓子云著。例求解方程dy dx x 2 y 0 \frac{\text{dy}}{\text{dx}} x^{2}y 0dxdy​x2y0dy dx x 2 y 0 ⟹ dy dx − x 2 y ⟹ 1 y d y − x 2 d x ⟹ ∫ 1 y dy − ∫ x 2 dx \frac{\text{dy}}{\text{dx}} x^{2}y 0 \Longrightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}} - x^{2}y \Longrightarrow \frac{1}{y}dy - x^{2}dx \Longrightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{y}\text{dy}} - \int_{}^{}{x^{2}\text{dx}}dxdy​x2y0⟹dxdy​−x2y⟹y1​dy−x2dx⟹∫​y1​dy−∫​x2dx⟹ ln ⁡ ∣ y ∣ − 1 3 x 3 C ⟹ y ± e x p ( − 1 3 x 3 C ) ⟹ y D ∙ exp ⁡ ( − 1 3 x 3 ) \Longrightarrow \ln\left| y \right| - \frac{1}{3}x^{3} C \Longrightarrow y \pm exp\left( - \frac{1}{3}x^{3} C \right) \Longrightarrow y D \bullet \exp\left( - \frac{1}{3}x^{3} \right)⟹ln∣y∣−31​x3C⟹y±exp(−31​x3C)⟹yD∙exp(−31​x3)