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\mu_B)^2 ] 这里的B代表当前小批量。标准化 [ \hat{x}_i \frac{x_i - \mu_B}{\sqrt{\sigma_B^2 \epsilon}} ] 添加一个极小的常数 (\epsilon) (通常为1e-5) 是为了保证数值稳定性防止除零错误。缩放与平移仿射变换 [ y_i \gamma \hat{x}_i \beta ] 这是BN的灵魂所在。\gamma(scale) 和\beta(shift) 是可学习的参数。如果BN只做标准化可能会破坏网络已学习到的特征表示能力例如对于Sigmoid会将其限制在线性区域。通过引入可学习的\gamma和\beta网络可以自主决定是否以及如何恢复数据的原始分布。理论上它可以学习到\gamma \sqrt{\text{Var}[x]}和\beta \mathbb{E}[x]从而恒等映射原始输入。1.2 推理阶段的前向传播在推理时我们无法使用小批量的统计量因为输入可能是单一样本或不同分布的数据。因此BN使用在训练过程中估算的整个数据集的全局统计量——运行均值running_mean和运行方差running_var。设全局估算值为 (\mu_{running}) 和 (\sigma_{running}^2)推理时的计算简化为 [ y \gamma \cdot \frac{x - \mu_{running}}{\sqrt{\sigma_{running}^2 \epsilon}} \beta ] 这些运行统计量通常在训练时通过指数移动平均Exponential Moving Average, EMA更新 [ \mu_{running} \text{momentum} \cdot \mu_{running} (1 - \text{momentum}) \cdot \mu_B ] [ \sigma_{running}^2 \text{momentum} \cdot \sigma_{running}^2 (1 - \text{momentum}) \cdot \sigma_B^2 ] 其中momentum是一个超参数控制历史信息与当前批信息的权重通常接近1如0.9, 0.99。二、 从零实现一个完整的NumPy版BatchNorm层下面我们使用NumPy实现一个支持2D全连接和4D卷积输入、包含完整训练/推理逻辑的BN层。我们将固定随机种子以确保下文示例的可复现性。import numpy as np # 设置随机种子确保可复现性对应您的随机种子 1768003200070我们取其后几位作为seed np.random.seed(80070) class BatchNorm: 一个完整的批归一化层实现。 支持2D (N, D) 和 4D (N, C, H, W) 输入。 def __init__(self, num_features, eps1e-5, momentum0.9, affineTrue): 参数: num_features: 对于2D输入是特征维度D对于4D输入是通道数C。 eps: 数值稳定性的小常数。 momentum: 用于更新运行统计量的动量参数。 affine: 是否引入可学习的缩放平移参数 gamma 和 beta。 self.num_features num_features self.eps eps self.momentum momentum self.affine affine # 可学习参数 if self.affine: self.gamma np.ones(num_features) # 缩放参数 self.beta np.zeros(num_features) # 平移参数 else: self.gamma None self.beta None # 运行统计量 (推理时使用) self.running_mean np.zeros(num_features) self.running_var np.ones(num_features) # 初始化为1避免推理初期除零 # 反向传播缓存 self.cache {} self.mode train # 或 eval def forward(self, x): 前向传播。 x: 输入张量形状 (N, D) 或 (N, C, H, W)。 N x.shape[0] if x.ndim 4: # 卷积层输入: (N, C, H, W) - 在 N, H, W 维度上计算均值和方差 # 为了计算方便我们将其变形为 (N, C, H*W) 然后视为 (N*H*W, C) # 更标准的做法计算每个通道的均值和方差 x_reshaped x.transpose(0, 2, 3, 1).reshape(-1, self.num_features) # (N*H*W, C) orig_shape x.shape elif x.ndim 2: # 全连接层输入: (N, D) x_reshaped x orig_shape x.shape else: raise ValueError(fExpected 2D or 4D input, got {x.ndim}D) if self.mode train: # 训练模式使用当前批统计量 mu np.mean(x_reshaped, axis0) # 形状 (num_features,) var np.var(x_reshaped, axis0) # 形状 (num_features,) x_norm (x_reshaped - mu) / np.sqrt(var self.eps) # 更新运行统计量 (指数移动平均) self.running_mean self.momentum * self.running_mean (1 - self.momentum) * mu self.running_var self.momentum * self.running_var (1 - self.momentum) * var # 缓存反向传播所需数据 self.cache { x_reshaped: x_reshaped, x_norm: x_norm, mu: mu, var: var, eps: self.eps, orig_shape: orig_shape } elif self.mode eval: # 推理模式使用运行统计量 mu self.running_mean var self.running_var x_norm (x_reshaped - mu) / np.sqrt(var self.eps) else: raise ValueError(fInvalid mode: {self.mode}) # 仿射变换 (缩放和平移) if self.affine: out self.gamma * x_norm self.beta else: out x_norm # 恢复原始形状 if x.ndim 4: out out.reshape(orig_shape[0], orig_shape[2], orig_shape[3], orig_shape[1]) out out.transpose(0, 3, 1, 2) # 回到 (N, C, H, W) return out def backward(self, dout): 反向传播。 dout: 上一层传来的梯度形状与forward输出相同。 if not self.cache: raise RuntimeError(Forward pass in training mode must be called before backward.) # 恢复缓存数据 x_reshaped self.cache[x_reshaped] # (M, num_features), M N 或 N*H*W x_norm self.cache[x_norm] mu self.cache[mu] var self.cache[var] eps self.cache[eps] orig_shape self.cache[orig_shape] # 如果输入是4D需要先将梯度变形 if len(orig_shape) 4: # dout 形状 (N, C, H, W) - 变形为 (N*H*W, C) dout dout.transpose(0, 2, 3, 1).reshape(-1, self.num_features) M x_reshaped.shape[0] # 样本数对于Conv是 N*H*W # 1. 计算 dgamma 和 dbeta (如果affineTrue) dgamma, dbeta None, None if self.affine: dgamma np.sum(dout * x_norm, axis0) # (num_features,) dbeta np.sum(dout, axis0) # (num_features,) # 计算 dx_norm用于后续链式法则 dx_norm dout * self.gamma # (M, num_features) else: dx_norm dout # 2. 计算标准化过程的梯度 (这是BN反向传播的核心) # 参考推导公式见下一章节 dvar np.sum(dx_norm * (x_reshaped - mu) * -0.5 * (var eps) ** -1.5, axis0) dmu np.sum(dx_norm * -1 / np.sqrt(var eps), axis0) dvar * np.sum(-2 * (x_reshaped - mu), axis0) / M dx dx_norm / np.sqrt(var eps) dvar * 2 * (x_reshaped - mu) / M dmu / M # 恢复梯度的原始形状 if len(orig_shape) 4: dx dx.reshape(orig_shape[0], orig_shape[2], orig_shape[3], orig_shape[1]) dx dx.transpose(0, 3, 1, 2) # 回到 (N, C, H, W) grads {dx: dx} if self.affine: grads[dgamma] dgamma grads[dbeta] dbeta return grads def set_mode(self, mode): 设置模式train 或 eval. self.mode mode使用示例# 模拟一个卷积层输出 (batch_size4, channels3, height5, width5) x_train np.random.randn(4, 3, 5, 5).astype(np.float32) bn_layer BatchNorm(num_features3, momentum0.9, affineTrue) bn_layer.set_mode(train) # 前向传播 y bn_layer.forward(x_train) print(训练输出形状:, y.shape) print(运行均值:, bn_layer.running_mean) # 模拟反向传播梯度 dout np.ones_like(y) grads bn_layer.backward(dout) print(输入梯度形状:, grads[dx].shape) print(gamma梯度:, grads.get(dgamma)) # 切换到推理模式 bn_layer.set_mode(eval) x_test np.random.randn(1, 3, 5, 5) # 单样本推理 y_test bn_layer.forward(x_test) print(推理输出计算完成。)三、 反向传播的数学推导与实现剖析上述backward方法中的计算并非凭空而来。它源于对前向传播公式的链式求导。设损失函数为 (L)我们需要计算 (\frac{\partial L}{\partial x_i}), (\frac{\partial L}{\partial \gamma}), 和 (\frac{\partial L}{\partial \beta})。推导的关键在于意识到 (\mu_B) 和 (\sigma_B^2) 也是 (x) 的函数。因此在计算 (\frac{\partial L}{\partial x_i}) 时梯度会从三个路径流回直接通过 (\hat{x}_i)。通过 (\mu_B) (它依赖于所有 (x_i))。通过 (\sigma_B^2) (它也依赖于所有 (x_i) 和 (\mu_B))。经过严谨推导此处省略详细步骤可参考原论文或相关教材我们可以得到向量化的高效计算形式这正是我们backward方法中dvar,dmu,dx的计算依据。这种实现避免了显式的逐样本循环充分利用了NumPy的广播机制。四、 超越基础关键技术点与工程实践4.1 数值稳定性eps的位置与影响我们通常将方差计算为 (\sigma_B^2 \frac{1}{N} \sum (x_i - \mu_B)^2)。但在实现中直接使用这个公式可能在高维或特定数据下导致数值下溢或精度问题。更稳健的做法是使用两次遍历算法或Welford’s online algorithm来计算均值和方差。此外常数eps应加在平方根内 (sqrt(var eps))而不是先开方再加eps以确保分母恒为正且平滑。4.2 小批量问题与替代方案BN严重依赖于足够大且来自同一分布的小批量以获得有意义的统计估计。这导致了其在以下场景的局限性小批量训练如大模型、目标检测统计估计噪声大性能下降。递归神经网络RNN序列长度变化统计量难以定义。在线学习批量大小为1。为此研究者提出了多种替代方案层归一化Layer Normalization, LN在特征维度上进行归一化