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旅游网站建设平台分析,贷款超市网站开发,网站建设 流程 域名申请,网站搜索优化怎么做可持久化线段树 (Persistent Segment Tree) 1. 核心思想#xff1a;共享结构 (Shared Structure) 基本原理#xff1a;每次修改操作不复制整个结构#xff0c;而仅创建 \(O(\log n)\) 个新节点。关键技术#xff1a;动态开点。 每个节点显式存储左右儿子的索引。分配新索…可持久化线段树 (Persistent Segment Tree)1. 核心思想共享结构 (Shared Structure)基本原理每次修改操作不复制整个结构而仅创建\(O(\log n)\)个新节点。关键技术动态开点。每个节点显式存储左右儿子的索引。分配新索引时不同版本的根节点root指向不同的子结构。2. 数据结构定义 (Data Structure Definition)/* by yours.tools - online tools website : yours.tools/zh/blood.html */ // 节点结构包含左儿子、右儿子索引及维护的值 type Node: { le, ri, val } // 可持久化线段树主体 type Pers. SegTree: nodes[], // 存储所有节点的池子 roots[], // 存储不同版本的根节点索引 n // 维护序列的总长度 // 创建新节点函数 function newnode(l0, r0, v0): nodes.append(Node(l, r, v)) return nodes.size() - 13. 可持久化更新操作 (Persistent Update)核心逻辑复制路径上的节点此处以单点更新为例。/* by yours.tools - online tools website : yours.tools/zh/blood.html */ // 复制节点从旧节点克隆信息到新节点 function copynode(old): nodes.append(nodes[old]) return nodes.size() - 1 /** * 更新操作 * param prev : 上一版本的对应节点索引 * param l, r : 当前区间范围 * param pos : 待修改的位置 * param val : 修改后的值 */ function update(prev, l, r, pos, val): cur copynode(prev) // 复制当前节点实现可持久化 if l r: nodes[cur].val val // 到达叶节点 (注原笔记此处为.sum语义等同) return cur mid (l r) 1 if pos mid: // 递归更新左子树并将新生成的节点索引连在当前节点的左儿子上 nodes[cur].le update(nodes[cur].le, l, mid, pos, val) else: // 递归更新右子树 nodes[cur].ri update(nodes[cur].ri, mid 1, r, pos, val) pushup(cur) // 向上更新当前节点的信息 return cur4. 经典应用区间第\(k\)小 (Static Range K-th Smallest)问题描述给定长度为\(n\)的数组进行\(q\)次查询每次查询区间\([l, r]\)中第\(k\)小的元素。技术要点值域建树针对数值范围或离散化后的秩建立线段树。版本前缀和依次从\(1 \sim n\)插入元素建立\(n\)个版本。第\(i\)个版本存储了前\(i\)个元素的分布情况。区间转化利用前缀和思想查询\([l, r]\)等价于在“第\(r\)个版本”与“第\(l-1\)个版本”的差异结构上进行二分查找。5. 带修改的区间第\(k\)小 (Dynamic Range K-th Smallest)局限性标准主席树是前缀和结构线性的单点修改会导致后续所有版本失效。解决方案结合BIT (树状数组)的二进制结构进行分解。用 BIT 维护一束线段树树套树。操作修改操作变为修改 BIT 中的\(\log n\)棵树查询时在\(2\log n\)个对应的版本节点上同步二分。复杂度时间复杂度\(O(n \log^2 n)\)。6. 可持久化并查集 (Persistent DSU)实现方式利用主席树实现可持久化数组以此维护并查集的fa父亲和rank按秩合并高度。操作逻辑每次find和unite操作基于某个版本进行。必须使用按秩合并避免使用路径压缩路径压缩会破坏版本结构且导致大量节点新建。复杂度\(O(\log^2 n)\)主席树访问\(\log n \times\)并查集深度\(\log n\)。注意底层基本操作返回新节点索引高层逻辑函数返回新版本的根节点编号。7. ⚠️ 警告与经验总结空间预分配可持久化线段树空间开销巨大通常需要开到\(40n\)或\(25(nq)\)左右。修改原则每次修改必须先复制原节点在副本上进行修改严禁直接改动历史版本的数据8. 经典例题解析例题 23.3 (CF 893F)题目给定一棵\(n\)个点的有根树点有权值。\(q\)次查询点\(u\)的子树中深度不超过\(dep(u)k\)的节点中的最小权值。解法求出树的DFS 序子树在序中对应一个连续区间。在 DFS 序上建立以深度 (dep)为索引的主席树。查询时在对应的子树区间版本内进行深度范围内的前缀最小值查询。例题 23.5 (CF 840D)题目给定长度\(n\)的数组\(a\)\(q\)次查询\([l, r]\)中出现次数严格大于\(\frac{r-l1}{k}\)的最小元素。核心逻辑鸽巢原理。出现次数超过\(\frac{len}{k}\)的数最多只有\(k-1\)个当\(k5\)时最多 4 个。方案 I主席树 二分在线段树上查找时只进入那些“节点计数值\( \frac{len}{k}\)”的子树。方案 II随机化在\([l, r]\)随机抽样\(M\)次总成功概率为\(1 - (\frac{k-1}{k})^M\)。技巧补充先离散化。利用std::vector记录每个数值出现的所有索引。通过两次std::upper_bound相减可在\(O(\log n)\)内\(O(1)\)检查某个数在\([l, r]\)的实际出现次数。补充 (Lecturers Supplements)关于动态第\(k\)小在使用 BIT 维护主席树时空间压力极大。如果题目允许离线CDQ 分治通常是空间更优的替代方案。关于按秩合并在可持久化并查集中如果不按秩合并而只用路径压缩单次操作的最坏复杂度会退化且新建节点过多会导致 MLE内存超限。CF 840D 的阈值该题中\(k\)的范围通常很小如\(k5\)这使得我们可以在线段树上同时递归多条分支而不会影响\(O(\log n)\)的查询量级。第一档习题集N1. 模 12 加法群的子群已知\(G \mathbb{Z}_{12}\)\(H \langle 4 \rangle \{0, 4, 8\}\)。\(H\)的全部左陪集\(0 H \{0, 4, 8\}\)\(1 H \{1, 5, 9\}\)\(2 H \{2, 6, 10\}\)\(3 H \{3, 7, 11\}\)指数\([G : H] 4\)。拉格朗日定理验证\(|G| [G : H] \cdot |H|\)即\(12 4 \times 3\)。完全代表系(Transversal)\(\{0, 1, 2, 3\}\)。N2. 模 15 乘法群的子群已知\(G \mathbb{Z}_{15}^* \{1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\}\)注与 15 互素的元素。子群\(H \langle 4 \rangle\)。\(4^1 \equiv 4\)\(4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{15}\)故\(|H| 2\)。\(H \{4, 1\}\)。指数\([G : H] 8 / 2 4\)。所有陪集\(1 \cdot \{4, 1\} \{4, 1\}\)\(2 \cdot \{4, 1\} \{8, 2\}\)\(7 \cdot \{4, 1\} \{13, 7\}\)\(11 \cdot \{4, 1\} \{14, 11\}\)N3. 对称群\(S_3\)的陪集非正规子群示例已知\(G S_3\)\(H \{e, (12)\}\)。首先\(H \leq G\)且\(\langle (12) \rangle H\)故\(H G\)。计算左陪集(\([G:H]3\))\(e H \{e, (12)\}\)\((13) H \{(13), (13)(12)(123)\}\)\((23) H \{(23), (23)(12)(132)\}\)计算右陪集\(H e \{e, (12)\}\)\(H (13) \{(13), (12)(13)(132)\}\)\(H (23) \{(23), (12)(23)(123)\}\)结论左右陪集显然不同如\((13)H \neq H(13)\)因为\((13)(12)(123)\)而\((12)(13)(132)\)。N4. 循环群的子群链已知\(G \mathbb{Z}_{24}\)\(H \langle 6 \rangle\)\(K \langle 12 \rangle\)。包含关系显然\(H, K \leq G\)。且由于\(6 \mid 12 \Rightarrow \langle 12 \rangle \leq \langle 6 \rangle\)。\(H \{ \langle 12 \rangle, 6 \langle 12 \rangle \} \{0, 6, 12, 18\}\)。结论\(K \leq H \leq G\)。\(G \{H, 1H, \dots, 5H\}\)。指数计算\([G:H]6, [H:K]2, [G:K]12\)。N7. 组合数学/算法 (CF 1422C)题目给一个正整数以字符串形式可删其中一个连续子串求所有可能剩余数之和\(\pmod P\)。核心策略按位计算贡献。位置\(i\)处数字\(a_i\)的贡献设\(i\)为从前往后第\(i\)位下标从 1 开始\(a_i\)在被删子串左侧其位权保持不变。\(a_i\)在被删子串右侧其位权因右侧位被删而发生位移。贡献公式对于第\(i\)位的数字\(a_i\)\[\text{Contribution} \left( \sum_{dlen1}^{i-1} (i - dlen) 10^{i-1-dlen} \right) \times a_i 10^{i-1} \times \frac{(n-i)(n-i1)}{2} \times a_i \]记左侧贡献累加项为\(F_i\)\[F_i \sum_{d1}^{i-1} (i-d) 10^{i-1-d} 10 F_{i-1} \frac{10^{i-1}-1}{9} \](注原笔记末尾推导公式为\(F_i 10 F_{i-1} \frac{10^{i-1}-1}{9}\)这利用了等比数列求和性质。)N8. 线性同余方程 (Linear Congruence Equation)问题给定\(a, b, n\)求方程\(ax \equiv b \pmod n\)的所有解。步骤设\(g \gcd(a, n)\)。同除最大公约数若\(g \mid b\)方程两边同除以\(g\)得到\(ax \equiv b \pmod{n}\)。其中\(a a/g, b b/g, n n/g\)。若\(g \nmid b\)则原方程无解。求解求出\(x \equiv x_0 \pmod{n}\)通常利用扩展欧几里得算法求解\(ax ny b\)。所有解在模\(n\)意义下原方程共有\(g\)个解形式为\[x \equiv kn x_0 \pmod n, \quad k \in \{0, 1, \dots, g-1\} \]N9. 循环子群的陪集已知\(d \mid n\)对于\(\mathbb{Z}_n\)的子群\(H \langle d \rangle\)。最小非负代表元\(\{0, 1, 2, \dots, d-1\}\)。陪集判定给定\(x\)其所在的陪集为\((x \bmod d) H\)。H1. 陪集的交与 Poincaré 定理 (Poincarés Theorem)设\(H, K \leq G\)证明\(H \cap K\)是\(G\)的子群。\([G : H \cap K] \leq [G : H][G : K]\)。若\(\gcd([G : H], [G : K]) 1\)则\([G : H \cap K] [G : H][G : K]\)。证明要点(i) 子群判定若\(a, b \in H \cap K\)则\(a, b \in H\)且\(a, b \in K\)。由子群一步判定法\(a^{-1}b \in H\)且\(a^{-1}b \in K\)故\(a^{-1}b \in H \cap K\)。(ii) 构造单射构造映射\(\psi: G/(H \cap K) \to G/H \times G/K\)定义为\(\psi(g(H \cap K)) (gH, gK)\)。\(\psi\)是良定义的且是单射。根据公式\(|HK| \frac{|H||K|}{|H \cap K|}\)当且仅当\(G HK\)时取等号。(iii) 指数整除性由于\([G : H \cap K]\)既是\([G : H]\)的倍数也是\([G : K]\)的倍数且两者互质故其至少是\([G : H][G : K]\)的倍数。结合 (ii) 的结论强制取等。H2. 有限指数子群性质 (群作用视角)命题若\(H \leq G\)\([G : H] n\)证明\(\forall g \in G, g^{n!} \in H\)。证明构造作用考虑\(g\)在左陪集空间\(G/H\)上的左乘作用\(\psi_g(aH) gaH\)。置换表示由于映射是单射且是对映\(\psi_g\)本质上是\(n\)个陪集上的一个置换。阶的限制所有置换构成的对称群\(S_n\)的阶为\(n!\)。结论根据 Lagrange 定理\(\psi_{g^{n!}}\)必定是单位变换\(\text{id}\)。即\(\psi_{g^{n!}}(eH) eH \Rightarrow g^{n!}H H \Rightarrow g^{n!} \in H\)。推论若\(H \trianglelefteq G\)正规子群则可加强为\(g^n \in H\)。补充 (Lecturers Supplements)关于 H1 (iii) 的直观理解这在数论中对应于如果一个数既是\(a\)的倍数又是\(b\)的倍数且\(\gcd(a,b)1\)那它一定是\(ab\)的倍数。关于 H2 的深度这个证明引入了群表示论的初步思想——将抽象群作用于集合上转化为置换。这在证明一些关于有限指数子群的存在性问题如正规核 Normal Core时非常有用。线性同余方程组N8 是处理单个方程如果是多个方程且模数互质则需要用到中国剩余定理 (CRT)。H3. 正规化子与陪集 (Normalizer Conjugation)定义设\(H \leq G\)定义\(H\)在\(G\)中的正规化子为\(N_G(H) \{g \in G : gHg^{-1} H\}\)。证明要点\(N_G(H) \leq G\)且\(H \trianglelefteq N_G(H)\)\(H\)在\(G\)的共轭作用下的稳定子 (Stabilizer) 正是\(N_G(H)\)。由于稳定子必为子群故\(N_G(H) \leq G\)。由定义\(\forall g \in N_G(H)\)均有\(gH Hg\)这满足正规子群的充要条件故\(H \trianglelefteq N_G(H)\)。\(H\)的不同共轭子群个数为\([G : N_G(H)]\)考虑\(G\)通过共轭作用作用于其子群集合。\(H\)的轨道 (Orbit) 即为所有共轭子群。由轨道-稳定子定理 (Orbit-Stabilizer Theorem)轨道大小等于指数\([G : \text{Stab}(H)]\)即\([G : N_G(H)]\)。若\([G : H] p\)\(p\)为素数则\(H \trianglelefteq G\)或\(N_G(H) H\)利用指数传递性\([G : N_G(H)] \cdot [N_G(H) : H] [G : H] p\)。由于\(p\)是素数因子只能是\(1\)或\(p\)。若\([G : N_G(H)] 1 \Rightarrow G N_G(H) \Rightarrow H \trianglelefteq G\)。若\([G : N_G(H)] p \Rightarrow [N_G(H) : H] 1 \Rightarrow N_G(H) H\)。H4. 双陪集 (Double Cosets)定理设\(G\)是有限群\(H, K \leq G\)则双陪集\(HgK\)的大小为\[|HgK| \frac{|H||K|}{|H \cap gKg^{-1}|} \]证明思路直接考虑\(|HgK| |H(gKg^{-1})g| |H(gKg^{-1})|\)。根据乘积准则\(|AB| \frac{|A||B|}{|A \cap B|}\)结论成立。计算实例在\(S_4\)中当\(H, K S_3\)时求双陪集\(H(14)K\)的大小\(|H| 3! 6\)\(|K| 6\)。经计算\(|H \cap (14)K(14)| |\{e, (23)\}| 2\)。故\(|H(14)K| \frac{6 \times 6}{2} 18\)。H5. (CF 484E) Sign on Fence题目给定序列\(h_n\)进行\(m\)次询问求区间\([l, r]\)中长度为\(w\)的连续子段最小值的最大值。解法一二分 主席树。对值域建树维护区间内“激活”状态即值\(\geq mid\)的最大连续长度。解法二线段树 整体二分。需仔细维护区间贡献属于经典操作。H6. (CF 840D) Destiny讲义前文已提及。核心在于主席树上暴力搜索利用\(k \leq 5\)保证递归分支极少从而保证复杂度。H8. (SPOJ - DQUERY)题目给定\(a_n\)\(m\)次询问\([l, r]\)中不同元素的个数\(n, m \leq 10^6\)。经验总结直接用主席树配合整体二分可能会 TLE常数或复杂度瓶颈。巧妙构造考虑离线算法 树状数组。核心思想对于相同的元素只在它最后出现的位置贡献\(1\)。从左向右扫描移动\(r\)时更新树状数组中“最后出现位置”的权值查询\([l, r]\)的和即可。这种“权值单点更新”配合树状数组非常巧妙。补充 (Lecturers Supplements)关于双陪集分解请注意双陪集\(HgK\)通常不是群且不同的双陪集大小可能不同。它们构成了\(G\)的一个轨道分解。关于 DQUERY 的空间优化如果必须在线查询 DQUERY可以使用主席树对于每个位置\(i\)版本\(i\)存储前\(i\)个数且只在每个数值最后一次出现的位置记为\(1\)。这样版本\(r\)中\([l, r]\)的区间和即为答案。H3-3 的直观意义这个结论告诉我们指数为最小素因子的子群具有非常强的对称性趋向往往是正规的。H10. 数论求和 (GCD Counting)问题计算\(\sum_{i1}^n \sum_{j1}^n [\gcd(i, j) k]\)其中\(n \leq 10^{10}\)。推导过程令\(m \lfloor n/k \rfloor\)。原式等价于求\(Ans \sum_{i1}^m \sum_{j1}^m [\gcd(i, j) 1]\)。利用对称性考虑\(i j, i j\)和\(i j\)三种情况\[Ans 2 \sum_{1 \leq i j \leq m} [\gcd(i, j) 1] 1 \]由欧拉函数\(\phi\)的定义在\(j\)固定时满足\(\gcd(i, j)1\)的\(i j\)的个数为\(\phi(j)\)\[Ans 2 \sum_{j2}^m \phi(j) 1 2 \sum_{j1}^m \phi(j) - 1 \]难点由于\(n \leq 10^{10}\)\(m\)仍然很大计算前缀和需要杜教筛 (Dus Sieve) 或 Min_25 筛。H11. 树上路径第\(k\)小 (K-th Smallest on Tree Path)问题给定一棵\(n\)个节点的树\(m\)次询问\(u, v\)间路径上的第\(k\)小权值 (\(n, m \leq 10^5\))。核心解法主席树 LCA。建树每个节点维护从根节点到当前节点路径上权值的可持久化线段树。差分思想路径\(u \to v\)的权值分布可以通过四个版本的线段树进行叠加/消减得到\[\text{Target} \text{Tree}(u) \text{Tree}(v) - \text{Tree}(\text{LCA}(u, v)) - \text{Tree}(\text{parent}(\text{LCA}(u, v))) \]查询在上述复合结构上同步进行二分查找。H12. 子群格与向量空间 (Subgroup Lattice)问题背景给定素数\(p\)和整数\(n\)考虑群\(G \mathbb{Z}_p^n\)初等阿贝尔群。1. 证明\(G\)的子群个数等于\(\mathbb{F}_p\)上向量空间的子空间个数。证明思路\(G \underbrace{\mathbb{Z}_p \times \dots \times \mathbb{Z}_p}_{n}\)。由于\(\mathbb{Z}_p\)中除单位元外所有元素阶均为\(p\)。在\(G\)上定义标量乘法对于\(a \in \mathbb{F}_p, v \in G\)\(av\)即\(a\)个\(v\)相加。此时子群等价于加法封闭且有限进而等价于\(\mathbb{F}_p\)域上的线性子空间。2. 计算\(G\)的\(k\)维子群个数。计数原理\(k\)维子空间个数 (\(k\)个线性无关向量的取法) / (同一子空间内\(k\)维基的取法)。计算公式高斯二项式系数\[\binom{n}{k}_p \prod_{i0}^{k-1} \frac{p^n - p^i}{p^k - p^i} \]3. 举例\(n3, p2\)即\(\mathbb{Z}_2^3\)元素为\((x, y, z) \pmod 2\)共 8 个0 维1 个即\(\{(0, 0, 0)\}\)。1 维7 个非零向量个数 / 1 维基个数\(\frac{2^3-1}{2^1-1} 7\)。例如\(\langle(0,0,1)\rangle, \langle(1,1,1)\rangle\)等。2 维7 个\(\binom{3}{2}_2 \frac{(2^3-1)(2^3-2)}{(2^2-1)(2^2-2)} \frac{7 \times 6}{3 \times 2} 7\)。3 维1 个即\(G\)自身。补充 (Lecturers Supplements)关于 H10 的超范围内容如果需要计算\(10^{10}\)级别的欧拉函数前缀和通常构造狄利克雷卷积\(\phi * 1 I\)即\(\sum_{d|n} \phi(d) n\)。利用杜教筛公式\[g(1)S(n) \sum_{i1}^n (f*g)(i) - \sum_{i2}^n g(i)S(\lfloor n/i \rfloor) \]这里\(f \phi, g 1\)则\((f*g)(i) i\)公式变为\(S(n) \frac{n(n1)}{2} - \sum_{i2}^n S(\lfloor n/i \rfloor)\)。关于 H12 的对偶性你会发现\(n3\)时1 维子空间个数和 2 维子空间个数相等都是 7。这是因为\(\mathbb{F}_p\)上的向量空间具有对偶性\(k\)维子空间与\(n-k\)维子空间一一对应。H12-2 公式的简化直观图示第一个向量\(v_1\)有\(p^n - 1\)种选法第二个向量\(v_2\)需不在\(\text{span}(v_1)\)中有\(p^n - p\)种选法依此类推分母则是为了排除同一组基构成的相同子空间。E1. (CF1093E) 两个排列的交集问题给定两个排列\(a_n, b_n\)进行\(m\)次操作查询\(a[l_a \dots r_a]\)和\(b[l_b \dots r_b]\)的交集大小。交换\(b\)中的两个元素。转化由于是排列元素不重复。按元素计算转化为二维数点问题统计点集\((pos_a(x), pos_b(x))\)中落在矩形\([l_a, r_a] \times [l_b, r_b]\)内的点数。解法BIT 套权值线段树支持动态更新是在线做法。CDQ 分治时间轴分治将所有操作按时间排序。处理左半部分修改对右半部分查询的影响。贡献计算方式\(x\)轴排序\(y\)轴用 BIT 维护。E2. (CF1422F) 区间 LCM问题\(n\)个数\(q\)次询问\([l, r]\)的最小公倍数 (LCM)\(\pmod{10^97}\)。核心思路\(\text{LCM} \prod p_i^{\max(e_i)}\)。需动态维护每个区间内质因子幂次的最大值乘积。算法仿照DQUERY的思路。按右端点排序动态更新每个质数幂次\(p^k\)的“最后贡献位置”。如图所示对于\(p, p^2, p^3 \dots\)分别维护它们最后出现的位置。利用可持久化线段树时间轴线段树来强制在线查询。E3. 动态区间第\(k\)小解法BIT 套权值线段树。经典树套树题目不再赘述。E4. 群的自同构群 (Automorphism Group)设\(G \mathbb{Z}_n\)。\(Aut(G)\)是指\(G\)上所有自同构\(\psi\)在复合运算下构成的群。证明\(Aut(G) \cong \mathbb{Z}_n^*\)。证在\(\mathbb{Z}_n\)中\(\psi(x) x \cdot \psi(1)\)。要使\(\psi\)是同构\(\psi(1)\)必须是生成元即\(\psi(1) \in \mathbb{Z}_n^*\)与\(n\)互素。映射\(\psi \mapsto \psi(1)\)是一个群同构。实例\(Aut(\mathbb{Z}_{12})\)的元素。\(\mathbb{Z}_{12}^* \{1, 5, 7, 11\}\)。自同构映射为\(x \mapsto x, x \mapsto 5x, x \mapsto 7x, x \mapsto 11x\)。共 4 个。计算\(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\)。这等价于\(\mathbb{Z}_2\)域上\(2 \times 2\)向量空间的线性变换数即\(GL(2, \mathbb{F}_2)\)。第一个基向量\((1,0)\)有\(2^2-13\)种选法第二个基向量\((0,1)\)需线性无关有\(2^2-2^12\)种选法。结果共\(3 \times 2 6\)种。E5. (CF1149C) Tree Generator™问题用括号序列表示一棵树进行\(q\)次操作每次交换两个括号求树的直径。转化括号序列中每个节点的深度\(dep (\text{左侧 (, ) 个数差值})\)。直径公式在括号序列对应的深度序列上直径等于\[\max_{i j} \{ dep_i dep_j - 2 \cdot \min_{k \in [i, j]} dep_k \} \]线段树维护令\(a dep_i, b dep_k, c dep_j\)。我们需要维护\(ac-2b\)的最大值其中\(i \le k \le j\)。每个节点需维护以下五项\(A_{max}, B_{min}, C_{max}\)\(a-2b\)的最大值\(c-2b\)的最大值\(ac-2b\)的最大值通过合并子节点信息实现动态更新。补充 (Lecturers Supplements)关于 E1 (CDQ)CDQ 分治虽然不能在线但其空间复杂度仅为\(O(n)\)在处理大数据量时比树套树更稳健。关于 E4 (自同构群)\(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\)其实同构于\(S_3\)。这是一个非常有趣的结论因为\(\mathbb{Z}_2^2\)的非零元素可以看作三角形的顶点。关于 E5 的技巧这种将树上距离转化为括号序列/欧拉序上的区间最值问题RMQ是处理动态树直径的最强武器。