企业官网建设流程全解析

织梦 网站地图,成都网站建设服务平台,雅安市网站建设,廊坊cms建站系统视觉SLAM十四讲解读-(v2.p84)李代数求导1. 问题背景和目标 在考虑 SO(3)SO(3)SO(3) 上的情况时#xff0c;对空间点 p\boldsymbol{p}p 进行旋转得到 RpR\boldsymbol{p}Rp#xff0c;目标是计算旋转之后点的坐标相对于旋转矩阵 RRR 的导数 ∂(Rp)∂R\frac{\partial(R\boldsymb…视觉SLAM十四讲解读-(v2.p84)李代数求导1. 问题背景和目标在考虑SO(3)SO(3)SO(3)上的情况时对空间点p\boldsymbol{p}p进行旋转得到RpR\boldsymbol{p}Rp目标是计算旋转之后点的坐标相对于旋转矩阵RRR的导数∂(Rp)∂R\frac{\partial(R\boldsymbol{p})}{\partial R}∂R∂(Rp)​。由于SO(3)SO(3)SO(3)没有加法不能按导数定义直接计算所以通过将RRR对应的李代数记为ϕ\phiϕ转而计算∂(exp⁡(ϕ∧)p)∂ϕ\frac{\partial(\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p})}{\partial \phi}∂ϕ∂(exp(ϕ∧)p)​。2. 根据导数定义展开按照导数的定义∂(exp⁡(ϕ∧)p)∂ϕlim⁡δϕ→0exp⁡((ϕδϕ)∧)p−exp⁡(ϕ∧)pδϕ\frac{\partial(\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p})}{\partial \phi}\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{\exp((\phi \delta\phi)^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}∂ϕ∂(exp(ϕ∧)p)​limδϕ→0​δϕexp((ϕδϕ)∧)p−exp(ϕ∧)p​这一步是导数定义的基本应用分子是函数在ϕδϕ\phi\delta\phiϕδϕ和ϕ\phiϕ处的函数值之差分母是自变量的增量δϕ\delta\phiδϕ通过取极限δϕ→0\delta\phi\to0δϕ→0来得到导数。3. 利用李代数指数映射的性质根据李代数指数映射的性质exp⁡((ϕδϕ)∧)exp⁡((Jlδϕ)∧)exp⁡(ϕ∧)\exp((\phi\delta\phi)^{\wedge})\exp((J_l\delta\phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})exp((ϕδϕ)∧)exp((Jl​δϕ)∧)exp(ϕ∧)这里JlJ_lJl​是左雅可比矩阵则lim⁡δϕ→0exp⁡((ϕδϕ)∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pδϕlim⁡δϕ→0exp⁡((Jlδϕ)∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pδϕ\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{\exp((\phi \delta\phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{\exp((J_l\delta\phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}limδϕ→0​δϕexp((ϕδϕ)∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p​limδϕ→0​δϕexp((Jl​δϕ)∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p​此步骤利用了上述指数映射的性质将exp⁡((ϕδϕ)∧)\exp((\phi\delta\phi)^{\wedge})exp((ϕδϕ)∧)进行了替换以便后续化简。4. 利用近似和单位矩阵性质当δϕ\delta\phiδϕ很小时exp⁡((Jlδϕ)∧)≈I(Jlδϕ)∧\exp((J_l\delta\phi)^{\wedge})\approx\boldsymbol{I}(J_l\delta\phi)^{\wedge}exp((Jl​δϕ)∧)≈I(Jl​δϕ)∧这是指数映射在小量情况下的近似展开则lim⁡δϕ→0(I(Jlδϕ)∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pδϕ\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{(\boldsymbol{I}(J_l\delta\phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}limδϕ→0​δϕ(I(Jl​δϕ)∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p​lim⁡δϕ→0(Jlδϕ)∧exp⁡(ϕ∧)pδϕ\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{(J_l\delta\phi)^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}limδϕ→0​δϕ(Jl​δϕ)∧exp(ϕ∧)p​这里先将exp⁡((Jlδϕ)∧)\exp((J_l\delta\phi)^{\wedge})exp((Jl​δϕ)∧)用近似式替换然后对分子进行化简Iexp⁡(ϕ∧)p\boldsymbol{I}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}Iexp(ϕ∧)p与−exp⁡(ϕ∧)p-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}−exp(ϕ∧)p相消剩下(Jlδϕ)∧exp⁡(ϕ∧)p(J_l\delta\phi)^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}(Jl​δϕ)∧exp(ϕ∧)p。5. 利用反对称矩阵性质根据反对称矩阵性质a∧b−b∧aa^{\wedge}b-b^{\wedge}aa∧b−b∧a则(Jlδϕ)∧exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)p∧Jlδϕ(J_l\delta\phi)^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p} - \exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}^{\wedge}J_l\delta\phi(Jl​δϕ)∧exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p∧Jl​δϕ所以lim⁡δϕ→0(Jlδϕ)∧exp⁡(ϕ∧)pδϕlim⁡δϕ→0−(exp⁡(ϕ∧)p)∧Jlδϕδϕ−(Rp)∧Jl\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{(J_l\delta\phi)^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{-(\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p})^{\wedge}J_l\delta\phi}{\delta\phi}-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}J_llimδϕ→0​δϕ(Jl​δϕ)∧exp(ϕ∧)p​limδϕ→0​δϕ−(exp(ϕ∧)p)∧Jl​δϕ​−(Rp)∧Jl​这一步先利用反对称矩阵性质对分子进行变形然后分子分母中的δϕ\delta\phiδϕ在取极限时δϕδϕ1\frac{\delta\phi}{\delta\phi}1δϕδϕ​1最终得到结果−(Rp)∧Jl-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}J_l−(Rp)∧Jl​其中Rexp⁡(ϕ∧)R \exp(\phi^{\wedge})Rexp(ϕ∧)。综上通过以上详细推导步骤得到了∂(exp⁡(ϕ∧)p)∂ϕ−(Rp)∧Jl\frac{\partial(\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p})}{\partial \phi}-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}J_l∂ϕ∂(exp(ϕ∧)p)​−(Rp)∧Jl​也就是旋转之后点的坐标相对于旋转李代数的导数表达式。