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curvatures论文地址https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z这一发现耗费了该团队数年的辛劳、几台因运算过热的笔记本电脑以及一个来自几何学看似无关领域的意外线索。几何学中的异类数学家们有各种各样的方法来局部地描述一个曲面但其中两种尤为有用。其中一种方法捕捉的是关于曲面「外在」曲率的信息即在曲面上任选一点你可以沿着无限多的方向计算曲面在空间中的弯曲程度也就是所谓的曲率。只关注那些能得到最大和最小曲率值的方向然后取这两个值的平均数得到的数值被称为「平均曲率」。你可以计算曲面上任意给定点的平均曲率从而更好地理解它是如何置于周围空间之中的。另一种测量方法捕捉的是关于曲面「内蕴」曲率的信息这是一种不依赖于曲面所在外部空间的几何属性。试想一张平整的纸你可以把它卷成圆柱管而不必拉伸或撕裂它。如果纸上两点之间由一条曲线连接那么这条曲线在圆柱上的长度将保持不变。这意味着这张纸和圆柱体拥有相同的「度量」即距离的概念。但如果你试着把这张纸包在球体上情况就不再是这样了。你不得不拉伸、剪开或弄皱这张纸点与点之间的曲线长度也会随之改变。因此这两个曲面拥有不同的度量。1867 年法国数学家 Pierre Ossian Bonnet 证明如果你知道一个曲面上每一点的度量和平均曲率通常就足以确定该曲面的形态。当然只是「通常」。但「通常」并不代表「总是」正是这种不确定性让数学家们心痒难耐。Pierre Ossian Bonnet在 Bonnet 提出证明后的 150 年间数学家们发现了各种违背这一规律的曲面。这些曲面拥有相同的度量和平均曲率却不具备相同的全局结构。但所有这些曲面都属于数学家口中的「非紧致」曲面。它们不像球体、甜甜圈以及其他「紧致」曲面那样能够完美地闭合。相反非紧致曲面可能向某个方向无限延伸如平面或圆柱面或者拥有突然中断的边缘如同从一个更大的形状上裁下来的一块。紧致曲面受到的限制则更多它们必须满足各种约束条件才能自身回转并完美闭合。因此认为它们或许能被其度量和平均曲率唯一确定似乎是合乎情理的推测。1981 年数学家 Blaine Lawson 和 Renato de Azevedo Tribuzy 证明对于球体及任何与其拓扑等价的曲面即任何没有孔洞的紧致曲面。这一推测确实成立。而当涉及到带有一个孔洞的紧致曲面即拓扑学上的「环面」类似于甜甜圈时情况多了一点回旋余地。数学家们证明给定的度量和平均曲率最多只能对应两个不同的环面。然而从来没有人找到过这种「紧致 Bonnet 对」的实例。因此在几十年间学界普遍认为环面与球体一样给定的度量和平均曲率只能定义唯一的环面。「很长一段时间里人们都对此深信不疑」杜克大学的 Robert Bryant 说道「因为他们造不出任何反例。」但是他们错了。像素化的世界过去 20 年里Alexander Bobenko 一直在啃那些「数学甜甜圈」。21 世纪初他曾试图证明紧致 Bonnet 对确实存在。但当他意识到这个问题绝非几个月就能解决时便将其暂时搁置转而专注于他认为能更快取得进展的问题。他转向了一个看似与 Bonnet 问题毫不相干的数学领域但这恰恰成了最终解开谜题的关键。Bobenko 开始思考「离散」曲面这有点像是光滑曲面经过像素化处理后的低分辨率版本。数学家之所以研究离散曲面是因为它们不仅本身具有重要的几何性质而且在计算机科学、物理学、工程学等领域也有着广泛的实际应用。要构建一个离散曲面需要选取有限数量的点并用线段将它们连接起来形成一个由平面构成的形状。通过选择不同的点可以用不同的方式来表示同一个光滑曲面。例如下面就是几种表示球体的方式有些离散曲面能比其他的更好地进行表征。近二十年来Bobenko 和他的长期合作伙伴 Tim Hoffmann 一直致力于建立一套理论旨在利用离散曲面尽可能保留光滑曲面最显著的几何特征。2010 年代当时还是哥廷根大学博士生的 Andrew Sageman-Furnas 加入了这项工作并将 Bonnet 问题重新带回了讨论之中。Sageman-Furnas 对渔网等编织材料的力学机制很感兴趣这些材料本质上就是离散曲面这也吸引他进入了离散数学领域。在此过程中他提出了 Bonnet 问题的一个离散版本局部信息在什么情况下能唯一确定一个离散曲面又在什么情况下不能通过调整一种已知的生成 Bonnet 定理反例的方法Sageman-Furnas 与他的导师 Max Wardetzky 以及 Hoffmann 一起找到了一套在离散情形下构造反例的「配方」。与光滑情形一样这些反例也总是非紧致的。但由于离散曲面并不包含无限多个点因此利用计算机对其进行研究是可行的。Sageman-Furnas 不禁设想是否可能利用计算机的「暴力求解」法在离散几何的世界里找到一对紧致 Bonnet 对如果确实如此那么离散情形或许也能为解决光滑情形下的问题指明方向。于是他作为 Bobenko 研究组的博士后研究员来到柏林加入了 Bobenko 和 Hoffmann 的行列并着手开展工作。曲面探寻之旅2018 年春Sageman-Furnas 开始通过计算机搜寻一种特殊的曲面这种曲面可以被转化为一个 Bonnet 对就像是用「老面」作为基底能烘焙出各种不同的面包一样。这个作为「引子」的曲面类似于他读研期间用来构建离散 Bonnet 对的那些曲面。但这一次他要求它必须是一个环面。也就是说它必须是紧致的且带有一个或多个孔洞。Hoffmann 回忆称Sageman-Furnas 消失了数周甚至可能数月。当这位年轻的数学家终于再次现身时他找到了他一直在寻觅的东西一个长满尖刺的形状与其说像环面倒不如说更像是一只折纸犀牛。「犀牛」。但它确实是一个环面。根据 Sageman-Furnas 的计算机程序它具备生成 Bonnet 对所需的所有其他属性。更重要的是当 Sageman-Furnas 在计算机上生成这些 Bonnet 对时它们也都是环面。从犀牛形状到 Bonnet 对的变换似乎并没有将犀牛形状扭曲成非紧致曲面。这些曲面始终保持紧致。「当你开始进行计算探索和设计时」Sageman-Furnas 说道「你可以得到一些远超出你想象的新例子。」但这会不会好得令人难以置信计算机程序会产生舍入误差Sageman-Furnas 的犀牛形状可能看起来符合所需的标准它生成的 Bonnet 对也可能看起来是环面但这都可能只是假象是微小计算误差造成的假象。如果没有严格的证明数学家们无法确定。「他来了给我们展示了一些看起来很奇怪的几何物体看起来很像是数值计算产生的垃圾」Bonnet 说。「开玩笑地说我对整个项目最宝贵的贡献可能就是当时我说了一句『我见过更糟糕的。』」Andrew Sageman-Furnas左、Tim Hoffmann中和 Alexander Bobenko右构建了一对新的形状从而解决了一个长期存在的猜想。虽然花了一些时间但 Hoffmann 和 Sageman-Furnas 最终确信这个「犀牛」形状值得认真研究。如果能够找到这样一个离散的 Bonnet 对的例子那么光滑曲面的情况或许也并非毫无希望。Hoffmann 和 Sageman-Furnas 在那个夏天里仔细研究这个犀牛形状寻找线索有时一次视频通话就长达八到十二个小时寻找可能有助于他们缩小光滑 Bonnet 环面搜索范围的特殊性质和几何约束。到了九月他们终于找到了一个非常有希望的新线索这让 Bobenko 重新投入到他几十年前放弃的这个问题中。闭合环路线索与沿着犀牛边缘环绕的特定线条有关。这些线条已知可以提供关于犀牛曲率的重要信息 —— 描绘出它弯曲和折叠程度最大和最小的方向。由于犀牛是一个存在于三维空间中的二维表面数学家们原本预计这些线条也会在三维空间中勾勒出路径。但实际上它们总是位于平面或球面上。这些排列如此巧合的可能性微乎其微。「这让我们觉得一定有什么特别的事情正在发生」Sageman-Furnas 说道。这太不可思议了。与离散表面不同光滑表面没有边缘。但你仍然可以绘制「曲率线」描绘出最大和最小弯曲的路径。Sageman-Furnas、Bobenko 和 Hoffmann 决定寻找一个光滑的犀牛类比物其曲率线同样被限制在平面或球面上。也许一个具有这些特性的初始表面可以产生光滑的 Bonnet 环面。但这样的表面是否存在尚不清楚。然后博本科意识到一个多世纪前法国数学家让・加斯顿・达布就几乎已经提出了数学家们现在需要的东西。达布提出了生成具有正确曲率线的表面的公式。问题是他的公式无法生成闭合的曲率线。相反它们「看起来像螺旋线并延伸到无穷远」Bobenko 说。「不可能让它们闭合。」这意味着虽然曲率线可能位于平面和球面上但整个表面不会是环面。经过多年的努力数学家们 —— 结合使用纸笔和计算实验 —— 终于找到了如何调整达布的公式使曲率线闭合。他们终于找到了光滑的犀牛类比物尽管两者看起来并不太相似。此外正如他们所希望的那样这个光滑的犀牛可以生成一对新的环面它们具有相同的平均曲率和度量数据但整体结构不同。该团队最终找到了 Bonnet 问题的答案某些环面最终无法通过其局部特征唯一确定。但是当他们弄清楚这对 Bonnet 曲面究竟长什么样时他们发现这两个环面互为镜像。「从技术上讲这不成问题」Sageman-Furnas 说道。「从形式上讲它解决了问题。」但他补充说这仍然令人不满意。因此在接下来的一年里他们尝试以各种方式调整他们的光滑犀牛曲面。最终他们意识到如果放弃其中一组曲率线必须位于球面上的要求他们就可以构建一个新的光滑犀牛曲面从而达到他们的目的。然后他们利用这个曲面生成了一对新的 Bonnet 曲面 —— 这一次是两个非常扭曲的环面它们显然是不同的曲面但仍然具有相同的度量和平均曲率。该团队最终找到了紧凑型 Bonnet 曲面的一对实例。这一结果令 UMass Amherst马萨诸塞大学阿默斯特分校的数学家 Rob Kusner 感到惊讶。他表示这表明即使是环面 —— 一些最美观、研究最透彻的曲面 —— 也并非总能用其局部特征完美描述。「这是一个我们的直觉不够用的例子」杜克大学的数学家 Bryant 说道。不过数学家们发现的这两个环面有点奇怪它们像数字「8」一样自身相交。Bobenko 现在希望证明存在不与自身相交的 Bonnet 环面。Bonnet 环面的发现是对 Bobenko 和 Hoffmann 数十年来在离散曲面研究方面工作的有力验证。传统上光滑形状的几何学发展速度更快而离散几何学的理论发展相对滞后。但在这项工作中离散理论取得了突破性进展并最终促成了光滑曲面方面的进展。Hoffmann 认为这突出表明虽然离散曲面看起来像是其光滑对应物的简化模型但它们拥有自身的数学生命。离散世界可以像光滑世界一样丰富甚至更加丰富揭示出一些可能被忽略的额外对称性和联系。「人们似乎忘记了离散方面的研究」Hoffmann 说道。「但我们仍然可以从中有所收获。」原文链接https://www.quantamagazine.org/two-twisty-shapes-resolve-a-centuries-old-topology-puzzle-20260120/阅读最新前沿科技趋势报告请访问欧米伽研究所的“未来知识库”https://wx.zsxq.com/group/454854145828未来知识库是“欧米伽未来研究所”建立的在线知识库平台收藏的资料范围包括人工智能、脑科学、互联网、超级智能数智大脑、能源、军事、经济、人类风险等等领域的前沿进展与未来趋势。目前拥有超过8000篇重要资料。每周更新不少于100篇世界范围最新研究资料。欢迎扫描二维码或访问https://wx.zsxq.com/group/454854145828进入。